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数学猜想的意义所在

中国日报网10月31日电 最近全球有多名学者声称证明了黎曼假设,而黎曼假设是当今世界最著名、最重要的数学猜想。不少专家学者认为,这一猜想一旦被证明成立,它将对数学乃至科学的发展有重要的推动作用。可以说,数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。

数学猜想(或称猜测、假设、问题等),非一般的猜想或游戏。它是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断,它既有逻辑的成分,又含有非逻辑的成分,因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确,尚需通过验证和论证。虽然数学猜想的结论不一定正确,但它作为一种创造性的思维活动,是科学发现的一种重要方法。

数学猜想由前提和结论两部分组成。它以已有的部分事实和正确的数学知识(公理、定理、公式等)为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。它可分为存在性猜想(比如费马猜想),状态性猜想(比如庞加莱猜想),关系型猜想(比如哥德巴赫猜想),方法型猜想(比如四色问题)等。

数学猜想是以一定的数学事实为根据,包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分;没有数学事实作根据,随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。数学猜想通常是应用类比、分析、归纳等方法提出的,或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如,中国著名学者周海中根据已知的梅森素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”);这是一个颇具突破性的数学猜想。

数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法,通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征,没有创新,就谈不上数学猜想,创新是数学猜想的灵魂。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见创新性是数学猜想的一大特点。

破解数学猜想,是最智慧的头脑所进行的最艰难、最深入的探索。探索就是在确定性之外寻求人们还不了解的领域和事实,探索的武器和工具是思维创新、方法创新、理论创新;创新需要改变旧的思维方式、方法,突破固有的理论观点。例如,2018年9月,英国著名学者迈克尔·阿蒂亚在破解黎曼假设的过程中引入了一个新的函数(即“Todd函数”),并运用了物理学中精细结构常数α;这是一种颇具创新性的研究方法。

数学猜想有的被验证为正确的(如费马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等),并转化为定理,汇入数学理论体系之中;有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、冯·诺伊曼猜想等);还有一些正在验证过程中(如黎曼假设、杰波夫猜想、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说,数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响,不仅在于猜想本身的被证明或证否,解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法,也是数学发展的重大影响因子。

数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般,从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究,生动地体现了辩证法在数学中的应用,极大地推动了数学方法论的研究。

此外,数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志,它的探究会带来新的数学内容,也会诱导出一些新的猜想。例如:费马猜想产生了代数数论中的核心概念“理想数”;庞加莱猜想有助于人们更好地研究三维空间;哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展,尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等;四色问题通过电子计算机得以解决,从而开辟了机器证明的新时代;黎曼假设不仅使素数定理得以证明,还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出;瑞典著名学者哈拉尔德·克拉梅尔在1936年探究杰波夫猜想时,进一步提出了更为深刻的猜想。从这个意义上讲,数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”,而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。

数学猜想成千上万。年年都有不少猜想被提出,也有不少猜想被破解。还有一些重量级的猜想,让数学家们绞尽脑汁,但迄今尚未被破解;要想破解它们,不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神,还需要对前人所做的种种尝试有一系统了解。

学术界有个说法:全世界适合去攻克重要数学猜想的人不超过100个,那都是具有百分百天赋的数学家。许多数学猜想看似简单易懂,一般人都能理解,但实则内涵深邃无比,不可轻易触碰,盲目求解;否则就会做“无用功”,甚至浪费生命。

众所周知,数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科;它既是关于已知的,又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁;而破解数学猜想,正是数学家们一直在追求的目标。最后,让我们借用德国著名数学家大卫·希尔伯特的一句名言来结束本文:“我们必须知道,我们必将知道。”

来源:中国日报网


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