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初中竞赛 · 教学指导
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简介:第22讲 圆的基本性质 基础过关题 1.(2016·茂名)如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( A ) A.150° B.140° C.130° D.120° 2.(2016·张家界)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦.若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是( D ) A.75° B.60° C.45° D.30° 3.(2016·自贡)如图,在⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( C ) A.15° B.25° C.30° D.75° 4.(2016·兰州)如图,在⊙O中,若点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC=( A ) A.40° B.45° [来自e网通客户端]

简介:第28讲 概率 基础过关题 1.(2016·凉山模拟)下列事件中,不是随机事件的是( D ) A.打开电视机正好在播放广告 B.从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球 C.从课本中任意拿一本书正好拿到数学书 D.明天太阳会从西方升起 2.(2016·德阳旌阳区一模)下列说法错误的是( B ) A.必然事件发生的概率为1 B.不确定事件发生的概率为0.5 C.不可能事件发生的概率为0 D.随机事件发生的概率介于0和1之间 3.(2016·乐山模拟)在一个不透明的布袋中,红、黑球共10个,它们除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%附近,则布袋中红球的个数可能是( A ) A.2个 B.5个 C.8个 D.10个 4.(2016·凉山模拟)掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子,则向上一面的数不大于4的概率是( C ) A. B. C. [来自e网通客户端]

简介:第二十八章 椭圆的性质及应用 【基础知识】 椭圆具有一般圆锥曲线的性质外,还具有如下有趣性质: 性质1椭圆 的左右焦点分别为 , ,其上任意一点 处的两条焦半径长分别为 , (其中 为椭圆离心率, , 分别为左、右焦点.下均同). 性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切. 证明设 为椭圆 上一点, 为中心, 为 的中点,则 ,即圆心距等于两圆半径之差,故 与 (a)相切. 为叙述方便,定义椭圆上非顶点的某一点 与两焦点 , 所构成的三角形为焦点三角形,且称顶点 的内、外角平分线(即 点处的法、切线)与长轴的交点分别为内点 、外点 . 性质3椭圆焦三角形中,内点 到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数 . 证明设内点为 ,则 . 性质4椭圆焦三角形中,(I)其内心 将内点 与 点连线段分成定比 ;(Ⅱ)半焦距为内点 、外点 到椭圆中心的距离的比例中项,即 ;(Ⅲ)椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距,半焦距与外点到同侧焦点之距成比例,即 ;(Ⅳ)半焦距、外点与椭圆中心连线段、内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比 压缩包中的资料: 第二十八章椭圆的性质及应用.doc 第二十八章椭圆的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十九章 双曲线的性质及应用 【基础知识】 双曲线具有一般圆锥曲线的性质外,还具有下述有趣性质: 性质1双曲线 的左、右焦点为 , ,其上任意一点 处的两条焦半径长,当 以时, , ;当 时, , . 性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切. 证明设双曲线方程为 ,其上任一点 ,设两焦点为 , , 的中点为 ,中心 为 的中点,则 ,但以实轴为直径的圆 与以 为直径的圆的半径之和为 ,即证. 性质3设 , 是双曲线 的左、右焦点,点 是双曲线上异于顶点的任意一点,(I) 的最小值为 ;(Ⅱ)设 ,则 ,且 ;(Ⅲ)设 , ,则当点 在双曲线右支上时, ;当点 在双曲线左支上时, . 证明(I)当 为双曲线顶点时,即取最小值. (Ⅱ)在 中,由余弦定理, ,由 ,有 ,两式相减,化简即得 . . (Ⅲ) 在右支上时,由 及正弦定理,有 .由等比定理,有 .故 ,故 . 点在左支上时,同理可证. 性质4 是双曲线 上异于顶点的一点, 是中心, , 为其左、右焦点,令 ,则 . 其证明与椭圆性质8的证明类似. 性质5直线 与双曲线 相交 压缩包中的资料: 第二十九章双曲线的性质及应用.doc 第二十九章双曲线的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第三十章 抛物线的性质及应用 习题A 1.设抛物线的极坐标方程 ,则弦 分为 , ,且 . 2.连 ,则 .由例9(Ⅰ)的逆命题,知 . 3.连 ,则 .又由 ,知 , , , 四点共圆,从而由同圆中等圆周角所对的弦相等,得 . 4.设存在两点 , 关于 对称,设 的中点为 .设 的参数方程为 ( 为参数),代入抛物线方程,化简得 .由 ,得 ,则 . 又 ,则 ,故 为所求. 5.由抛物线定义,知 , ,有 , ,从而知 ,又 ,则 .而 为 中点,故 . 6.设 , , ,则 , .由此两式相减得 ,两式相加得 .又 ,则 .于是 ,当且仅当 时, ,即 到 轴最短距离为 . 7. ,可视为抛物线 上一点 到两定点 , 的距离和的最小值,而 恰为焦点,故 到其准线的距离 为所求. 习题B 1.因 与 两圆相切,且都与 轴相切,则 ,即 .而 ,则 ,即 ,故数列 是以 为首项,公差 的等差数列,从而 ,即 , ,故 的周长为 ,所以 . 2.设四点 , , , 共圆的圆方程为 ,并与 联立消去 ,得 .令 ,则 ,而 .同理 .从而由 ,知 压缩包中的资料: 第三十章 抛物线的性质及应用答.doc 第三十章抛物线的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A 1.连 , ,设 为 的中点,则 ,于是 即为 与 所成的角,且 .不妨设正方体棱长为1,则 , , .在 中 为所求. 2.问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置.由条件,设正方体 的棱 , , 与所给平面的夹角相同,可知所给平面与面 平行.进一步,面 与此正方体的12条棱的夹角都相同,因而,只需求出棱 与面 所成的角.为此,过 作 面 , 为在面 上的射影,连 ,就有 .注意到 为正三角形,可证 为 的外心,重心.设正方体棱长为 ,则 ,而 ,于是 ,故 . 3.可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形.设点 为正方体 的棱 延长线上一点,使得 , 为 的中点, 为 上的点, ,则由 ,知 ,从而 , , , 共面.设此截面交 于 ,交 于 ,连 ,则截面 为凸五边形. 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.若截面可以为一个正五边形,则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面,过相对的两个面的截线平行,而正五边形中没有平行的边.结论获证. 4.由第3题,知截面交 压缩包中的资料: 第二十一章 平行六面体的性质及应用答.doc 第二十一章平行六面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十六章 圆锥曲线的相关性质及应用 【基础知识】 椭圆、抛物线和双曲线,既可看作平面截圆锥面所得到的截线,又有统一定义与分别定义,因而,这几种曲线的同一性和特殊性决定了它们的几何性质具有相同性和不同性.所以,当我们在一种曲线上得到某项性质时,也容易在其他曲线上找到相关的性质. 由于椭圆、抛物线和双曲线可以看作与无穷远直线分别有零个交点、一个交点和两个交点,又双曲线、椭圆各有唯一的中心且为有穷远点,而抛物线的中心为无穷远点,由此,可得 , , 这三种曲线的互变规律(注意 ): 规律1 椭圆的两焦点连线先演变成抛物线上自焦点出发的射线(中心 由有穷远点演变成右边无穷远点),继而演变成双曲线轴上自焦点出发的两条无重合的射线(中心又由无穷远点演变成左边有穷远点); 规律2 椭圆内部含焦点区域(或外部不含焦点的区域),先演变成抛物线的右侧含焦点区域(或左侧不含焦点的外部区域),继而演变成双曲线左右两支含焦点的内部区域(或左右两支中间不含焦点的外接区域). 关注三种曲线性质的相关性,可以根据一些已有的知识,通过类比的途径进行探索,发掘出更多的知识,也 压缩包中的资料: 第26章 圆锥曲线的相关性质及应用.doc 第二十六圆锥曲线的相关性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十四章 三面角的性质及应用 习题A 1. . 2. . 3.(略) 4.(略) 5. . 习题B 1.不妨设面角 ,在棱 , 上分别取点 , ,使 ,再在棱 上取点 ,使 的长度 同时满足 , . 作二面角 的平分面,设与 相交于点 ,且 关于此平分面的对称点为 , 在平面 内,易知 ,且 ,故平面 上的线段 . 在平面 上以 为圆心, 为半径作圆,则点 在 内,过 作 与 相切于 ,过 ,作 与 相切于 .显然 , ,且在 中, . 同理, .故 . 又 ,而 , ,故 . 同理 ,故 为锐角三角形,即 为锐角三角形. 2.不妨设面角 ,在 上取一点 ,且在 内作 ,交 于 (设 ),则在 中, 为钝角,在棱 上取点 ,使 的长度 满足 . 作二面角 的平分面,设与 相交于点 ,且 关于此平分面的对称点为 ,则 在平面 内,易知 ,且 ,故平面 上的线段 . 在平面 上以 为圆心, 为半径作圆,则点 在 内,过 作 与 相切于 ,显然 ,且在 中, .故 ,从而 ,即 是钝角三角形. 3.不妨设 是锐 压缩包中的资料: 第二十四章 三面角的性质及应用答.doc 第二十四章三面角的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十章空间向量法及应用 【基础知识】 空间向量法是以平面向量法为基础求解立体几何问题,以向量为工具的求解方法. 1.设 , 分别为异面直线 , 的方向向量,则由向量的数量积可知,异面直线 、 的夹角由 给出,且 . 2.设 , 是二面角 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则向量 , 的夹角 ,就是二面角 的平面角. .据此,只要求得二面角两个半平面的异侧法向量,即可得到二面角的平面角.值得指出是,要注意调整好向量的方向,使其夹角为二面角的平面角. 3.设 是平面 的斜线, 是 的法向量, 是垂足,则向量 在 上的射影长 , 与平面 的夹角 为满足 ,即 或 据此,只需求得平面 的一个法向量 及向量 或 与 ,即可求得斜线 与平面 的夹角 . 4.证明直线 与 平行,只需证得其方向向量 、 满足 ;证明平面 与 平行,只需证得它们的法向量 , 满足 ;证明三直线 , , 共面,只需证明其方向向量 , , 满足 . 5.若向量 在向量 上的射影长为 ,则点 到直线 的距离为 . 6.设点 平面 ,则 外一点 到平面 的距离 压缩包中的资料: 第二十章 空间向量法及应用.doc 第二十章 空间向量法及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十五章 一般圆锥曲线的性质及应用 【基础知识】 对于一般圆锥曲线 ,令 .若 ,则 为椭圆型;若 ,则 为抛物线型;若 ,则 为双曲线型. 对于一般圆锥曲线,有如下一系列有趣性质: 性质1 直线 与圆锥曲线 若交于两个不同的点 , ,则称线段 为该曲线的一条弦,弦长由下列公式给出: . 其中 , , 为 代入 中消去 所得二次方程 的各次项系数. 性质2 设 是圆锥曲线过焦点 的弦,其长度记作 , 相对于焦点所在对称轴的倾角为 , , 为离心率, 为焦点到相应准线的距离,则有 与 的关系式: ,或 . 证明 由圆锥曲线统一的极坐标方程 ,得 , ,从而 . 再注意到 ,代入即证得. 注 (i) 时, (通径长); (ii)对于椭圆和双曲线 . 性质3 设 为圆锥曲线焦点,其相应准线为 ,作一直线交圆锥曲线于 , ,交 于 ,则 平分 的 的外角(即 , 与直线 成等角). 证明 如图25-1,从 , 分别向 作垂线 与 ,垂足为 , ,由圆锥曲线定义,有 . 又 ,则 . 从而 .故 平分 的 的外角. 推 压缩包中的资料: 第25章 一般圆锥曲线的性质及应用.doc 第二十五章 一般圆锥曲线的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十三章 特殊四面体的性质及应用 习题A 1.设四面体 有面 的棱旁切球,由例6结论知 .由例6注中说明有 ,两式相加得 . 同理有 ,即 为正三角形. 又由 及 ,有 . 同理 .从而四面体 为正三棱锥. 反之,若四面体为正三棱锥,显然有:对棱之和相等,且从顶点 引出的任意两棱之和等于对棱之和.由例6及其中注即知结论成立. 2. .设等腰直角三角形 中斜边 的中点为 ,则 为 的外心.由 ,知 在底面 上的射影为 ,球心即为 .而 为等边三角形,则 .故 到平面 的距离 . 3. .设正四面体 的球心为 ,球半径为 ,体积为 ,面 的中心为 ,棱 的中点为E,则 , , ,故 . 4.3.作 ,连 ,则 , 为面 与面 所成二面角的平面角.设 为 的中点,则 力面 与面 所成二面角的平面角,且 .设底面 的边长为 ,侧棱 的长为 ,由 ,有 .在 中,求得 .由 ,有 ,求得 ,即 .由题设 , , ,则 .由此即得结果. 5.(D).由 ,作 交 于 ,连 ,则 ,且 ,有 ,故 且 ,所以 . 6.(D).作 面 于 , 压缩包中的资料: 第二十三章 特殊四面体的性质及应用答.doc 第二十三章特殊四面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十七章 圆的解析性质及应用 【基础知识】 圆有如下一系列有趣的解析性质: 性质1 圆心为 ,半径为 的圆的方程为 . 性质2 二次方程表示圆的方程所应满足的条件是 ,且 . 性质3 圆心为( ),半径为 的圆的参数方程为 ( 为参数). 性质4 与两定点 , ( )距离的比为 ( 且 )的点的轨迹是圆: . 性质5 与两定点 , 的距离的比为 ( 且 , )的轨迹是圆: . 性质6 以点 , 为圆的直径两端点的圆的方程为 . 注 上述方程可变形为 .此式说明:若两曲线的两交点坐标满足它,则此两点为这圆的直径的两端点. 性质7 若直线 与二次曲线 相交于 , 两点,且由 消去 ,得 ;消去 ,得 (其中 与 的二次项系数均为1),那么以 , 为直径端点的圆的直径式方程为 . 证明 设 , 的坐标分别为 , ,则 , 是方程 的两个根; , 是方程 的两个根,即 , .两式相加,有 . 由性质6,即证得结论成立. 性质8 设 为平面直角坐标系原点, 为直线 : ( , 不同时为零)上一点,射线 交圆: 于点 ,若点 压缩包中的资料: 第27章 圆的解析性质及应用.doc 第二十七圆的解析性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十二章 一般四面体的性质及应用 习题A 1.由于过不在同一平面上的四点 , , , 可确定一个球面,设该球面分别与棱 , 交于 , ,四边形 和 分别内接于侧面 及 与球面的交线的圆,由圆的割线定理,有 , .于是 , . 因此, , 分别重合于 , ,即 , 在所确定的球面上,亦即 , , , , , 共在一个球面上. 2.在线段 上取点 ,使 在线段 上取一点 ,使 ;在线段 上取一点 ,使 ,则点 为所求的点. 事实上, , , , . 故 ,故点 为所求. 3.由 ,则 , 即 , 而 ,从而 . 由证明过程易知,当且仅当 ,即 或 与 重合时,取得等号. 4.连 , , , 延长分别交对面于 , , , .令 , , , , ,则 ,从而 ,亦即 . 不妨设 ,下证 .因 ,当 时成立.若 ,则 ,则(*)式左边 ,矛盾.从而 . 作 面 ,则 为 的外心, . 设 的最大边长为 ,则 ,从而 .证毕. 5.设 为 的中点, 在面 的射影为 ,连 ,则由 有 . 在 中, ,故 . 同 压缩包中的资料: 第二十二章 一般四面体的性质及应用答.doc 第二十二章一般四面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十六章 三角形旁心的性质及应用 习题A 1.先证明 与 的交点 为 与 的共同内心,再证明 的延长线与 的交点 为 与 的一个共同旁心. 2.应用旁切圆的性质、正弦定理和割线定理,通过计算实施证明. 3.由题设知 和 分别是 的 , 的外角平分线,即 为 的旁心,所以 是 的平分线. 作 交 于 ,因 , , ,即 是 的平分线,从而点 是 的内心, 平分 .由于 ,则 . 因 ,故四边形 内接于圆,且圆心在 的斜边 (即 )上,所以过 , , 的圆的圆心在 上. 4.(1)由 ,即证. (2)由 , , , ,知 . 5.连 并延长,过 作 的垂线,两线相交于 ,过 ,作 、 延长线的垂线 , , , 为垂足,由 ,有 .设 切 于 ,连 ,则 ,有 .故 . 又 ,则 .同理有 .从而,以 为圆心, 为半径的圆必切 , , 于 , , ,即 为 的旁切圆.由旁心性质 ,知 . 6.因 是 和 的内心,则由内心性质知 , .又因 是 及 的旁心,由旁心性质 ,知 , .从而 . 同理, , , ,而这四个三角形的高都等于内 压缩包中的资料: 第十六章 三角形旁心的性质及应用答.doc 第十六章三角形旁心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用 习题A 1.作高 ,易知 点是 的垂心.再取 的外心 ,由于 是 的重心,可知 , , 三点共线(欧拉线).由 知 ,亦即 .而 ,知 ,故 , , , 四点共圆.此时, .从而 ,故知 为正三角形. 2.连 , , , , . 、 的延长线分别交 , 于 , .在 中, , .因 ,从而 , ( 为外接圆半径). 又 , 为 的内心,故 , ≌ ,于是有 . 3.若 , 两点重合,易断 为正三角形,此时 , , ,结论显然成立. 若 , 两点互异时,过 , 作直线 .(i)如果 通过 的一个顶点,易断 为一等腰三角形,此时 , , 中,一个为零,其余两个相等,结论也成立.(ii)如果 与 的两边相交,不妨设与 , 相交,延长 交 于 , 必为 的中点,连 .过 , , 分别作到直线 的距离 , , .易证 ,从而 .又由重心性质,知 ,从而 ,故 . 4.设 为 的中点,则 在 上,且 .设 为 的中点, 交 于 ,则 为 的重心.连 交 于 ,则 为 的中点,从而 , ,从而 .又 ,从 压缩包中的资料: 第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用答.doc 第十七章关联三角形巧合点的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十四章 三角形重心的性质及应用 习题A 1.易知 ,则 ,故 为 的重心. 2.先证 ,再由 ,得 ,同理 , ,则 . 3.易知 到 的距离等于 内切圆的半径 ,则 边上的高为 ,再利用面积法证明. 4.证明 与 的重心重合. 5.由 , , ,有 ,知两中线 , 垂直.于是 . 6.连 , ,并延长相交于 ,则 为 的中点.由 , 分别是 和 的重心,则 .于是 , .从而 , , , , ,故 . 7.由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过 的重心,即共点于重心. 习题B 1.设 为 的重心,连 并延长到 使 ,连 , ,则以三条中线 , , 围成的三角形就是 .当 , , 成等差数列时,若 为正三角形,易证 .若 ,有 , , .将 分别代入以上三式,得 , , ,从而 ,故有 .反之,若有 ,当 中 时, 中 ,且 .据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯 ”,有 ,即 ,故 . 2.分两种情况讨论.①若 , 两点重合,易断 为正三角形,此时 ,结论显然成立.②若 压缩包中的资料: 第十四章 三角形重心的性质及应用答.doc 第十四章三角形重心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十八章 几何变换的性质及应用 习题A 1.若 与 重合,则结论显然成立.今设 与 不重合,将半圆以直径为轴,对称变换成整圆,设 , 为 , 关于 的对称点,则 , , 共线, , , 也共线. .故 , , , 共圆. 2.等腰 的外心 在顶角平分线上,而顶角平分线又是 的对称轴,以 为轴作 的对称 ,则 . 由 ,有 .连 , ,设 是等腰 的对称轴,则 垂直平分 ( 为垂足).于是 ,从而 与 关于 为轴对称,所以 .又已证 ,所以 ,故 , , , 四点共圆. 3.设直线 与 的交点为 ,过 作直线 ,分别作出 , 关于 的对称点 , ,则 , 在 上.连 交 于 ,则 点为所求.设 , 与圆的交点为 , .由对称性,知 .又 ,所以, , ,从而 . 4.将 绕 点逆时针旋转 处,使 重合于 .因 ,故 , , , 共圆.设 , 交于 点.由 ∽ ∽ ,知 , ,于是 ,故 . 5.易知 .分别过 , 引 , 垂直于 交 于 , ,交 于 , .显然,它们也垂直于 .由 ∽ , ; ∽ , ; ∽ , .于是 ,即 .又 ∽ 压缩包中的资料: 第十八章 几何变换的性质及应用答.doc 第十八章几何变换的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十三章 三角形外心的性质及应用 习题A 1.证 . 2.先证 、 、 和 、 、 分别共线,再证 、 、 、 四点共圆,最后证 点在此圆上. 3.利用 , , 以及 证明. 4.证明点 、 、 均在 的外接圆上. 5.连结 并延长交 于 ,则 为 的中点,可证 、 、 三点共线,对于圆内接四边形 ,由托勒密定理及 ,可证得 . 6.应用外心张角公式和正弦定理. 7.作 的外接圆,连 交圆于 ,连 , .由于 , ,则 .又 , ,则 ,从而 为平行四边形,故 .在 和 中, , , ,从而 ,故 . 8.设 , 的外接圆半径分别是 , .设 , 分别是 , 的中点,则 , , .由正弦定理,知 , ,因 ,有 .从而 , ,故 ,即有 ,亦即 .由 ,有 ,从而 ,于是 . 9.连 ,由于 ,有 ,由此可知 与 相切于点 ,从而 , , 三点共线.同理 , , 三点共线.连 , , , ,则 ,从而 ,故 , , , 四点共圆.又 , ,故 ,从而 , , , 共圆,因此有 , , , , 五点共圆. 10. 压缩包中的资料: 第十三章 三角形外心的性质及应用答.doc 第十三章三角形外心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十五章 三角形垂心的性质及应用 习题A 1.B.由 、 、 、 四点共圆,得 .同理还有两式,相加即得. 2.2∶1.延长 交 的外接圆于 ,证明四边形 为平行四边形即可. 3.不变.分 为锐角、直角、钝角三种情况分别讨论.或设 外接圆半径为1,由垂心性质5,有 . .又 ,故 ,而 ,故 (不变). 4.只需证明 、 . 5.存在性可通过作图证明,即设 交 外接圆于 ,交 于 ,连结 交 于 ,则 ( 为 外接圆半径).类似地可在 、 上得到点 、 .证明直线 、 、 共点可应用塞瓦定理的逆定理. 6.只需证明 是菱形. 7.过 作 交 于 ,有 ,于是知 为 的垂心,故 , .由 , 为 中点,于是知 为 的中点,从而 为 的中点. 8.由 ,有 ,而 ,从而 ,于是 ,即 .同理 .即证. 9.作 边上的高 ,延长 交 的外接圆于 ,则 .连 交 于 ,延长 ( 为 在 上的射影)交圆于 ,与 的延长线交于 ,则 为等腰三角形.由 ,可证 ( 为 在 上的射影).又 为 的中点,所以 为 的中点. 10.设 中点为 ,连 与 交于点 压缩包中的资料: 第十五章 三角形垂心的性质及应用答.doc 第十五章三角形垂心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十二章 三角形内心的性质及应用 习题A 1.先证 、 、 、 、 五点共圆,再证 、 是 的两条内角平分线. 2.先证 、 、 、 四点共圆,再证 . 3.因为 , ,所以只须证 即可. 4.注意 ,只须证明 与 的周长之和等于 与 的周长之和. 5.连 并延长交 于 ,连 .因 , 为 的内心,则 , ,即 , .① 又 ,则 ,从而 .连 ,则 ,从而 ,于是 ,故 .② 由①,②得 .又 ,则 .从而 ,且 . 6.由 , , , 四点共圆,有 .同理 .从而 . 同理得 , .于是原不等式等价于 .又 . 类似其他两式,此三式相加即证. 7.过点 作直线 的垂线,垂足为 .连 , , ,由 , ,知 , .由 ,知 , , , 共圆,从而 ,即 .由 , ,知 ,而 ,从而 .又 , ,有 ,得 .因 ,则 ,即知 是 的外心.于是 , ,故 是 的内心. 8.设 切 于 ,连 ,则 .设 的外心为 ,连 并延长交 于 ,连 , ,则 .又 ,则 ,即有 ,由内心性质3得 ,于是 ,故 . 压缩包中的资料: 第十二章 三角形内心的性质及应用答.doc 第十二章 三角形内心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十九章空间射影图的性质及应用 【基础知识】 空间中一点在某直线或在某平面上的射影,就是从该点向直线或平面所作垂线段的垂足. 空间一条直线在一平面内的射影可能是一条直线,也可能为一点,因而空间两异面直线之间的距离,可以转化成两异面直线在某一平面的射影或是两条平行直线,或是一点与一条直线而求. 空间图形有如下一系列有趣的性质: 性质1从空间一点向一个平面所引的斜线段中,斜线段相等其射影相等,斜线段较长的其射影也较长.反之亦真. 性质2长度为 的线段与其射影线段的长 有如下关系: .其中 为长度为 的线段所在直线与射影线段所在直线的夹角. 性质3长度为 的线段在与其共面的两相互垂直的直线上的射影长 , 有如下关系式: . 注此式即为三角形中的勾股定理. 性质4长度为 的线段,与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长 , , 有如下关系式: 注长方体对角线长的公式是其特例. 性质5长度为 的线段 的两端点 , 分别属于一个角度为 的二面角的两个半平面 与 , 与平面 所成的角为 ,与平面 所成的角为 ,点 , 到这个二面角的棱的距离分别为 , ,则 压缩包中的资料: 第十九章 空间射影图的性质及应用.doc 第十九章 空间射影图的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:【典型例题与基本方法】 例1在凸四边形 中,对角线 平分 , 是 边上一点, 交 于 , 交 于 .求证 . (1999年全国高中联赛题) 证明如图 ,在完全四边形 中,点 为对角线 所在直线上一点,由题设知 . 由性质6,即知 . 例2已知圆 与圆 交于 、 两点, 、 为圆 上不同于 、 的两个点,直线 、 分别交圆 于 、 ,直线 和 交于点 .证明:当点 和 变化时, 的外心总在一个定圆上. ( 预选题,2003年国家队集训测试题) 证明如图 ,当点 和 变化时,点 、 、 、 、 、 组成完全四边形的六个顶点.由性质5知点 恰为全四边形的密克尔点,由此即知 的外心 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆(即斯坦纳圆)上, 例3如图 ,四边形 的两条对角线交于点 ,两组对边的延长线分别相交于 、 ,过 作 的平行线交 、 于 、 .求证: . (《数学教学》2006年第10期问题681号) 证明延长 交 于点 ,在完全四边形 中,由性质3,有 . 又 ,则 . 故 . 注类似地,在完全四边形 中,直线 交 于 ,交直线 压缩包中的资料: 第九章完全四边形的性质及应用2.doc 第九章完全四边形的性质及应用3.doc 第九章完全四边形的性质及应用答.doc 第九章完全四边形的性质及应用1.doc [来自e网通客户端]

简介:第十章 根轴的性质及应用 【基础知识】 定义 从一点 作一圆周的任一割线,从 起到和圆周相交为止两线段之积,称为 点对于此圆周的幂. 由相交弦定理及切割线定理,知点 的幂是定值:若这点在圆内,则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方;则若这点在圆外,则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方;若这点在圆周上。则这点的幂等于0. 由定义,幂由下列的结论: 结论1 点 对于以 为圆心的圆周的幂,等于 及半径的平方差. 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线. 事实上,如图10-1,设点 到 和 的幂相等, , 的半径分别为 和 ( ),则 ,即 常数. 设 的中点为 , 于 ,则 , ,即 , 亦即 =常数.所以, 点是一定点,过 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹. 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴. 特别地,若两圆同心,则 ,从而同心圆的根轴不存在;若 , 变成一点 ,则 点在 的幂是 .此时,直线(轨迹)称为一圆与一定点的根轴. 根轴有如下性质: 性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线. 由于两圆的交点对于两圆的 压缩包中的资料: 第十章 根轴的性质及应用.doc 第十章根轴的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第八章相交两圆的性质及应用 【基础知识】 两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地,由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质. 性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 性质2以相交两圆的一交点为顶点,过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形,相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值. 推论1在相交两圆中,内接三角形都相似. 如图 , , , 均相似. 推论2在相交两圆中,若公共弦与内接三角形的一边垂直,则另两边必分别为两圆直径,反之亦真.如图 中, , 分别为 , 的直径 . 推论3在相交两圆中,两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角. 推论4在相交两圆中,内接三角形的交点(两圆交点)顶点,两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点,此四点共圆,或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上. 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段. 性质4以相交两圆的两交点分别为视点,对同一外公切线线段的张角的和为 . 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立:(1)公共弦对两圆的张角 压缩包中的资料: 第八章相交两圆的性质及应用.doc 第八章相交两圆的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第十一章 线段调和分割的性质及应用 【基础知识】 设两点 、 内分与外分同一线段 成同一比例,即 ,则称点 和 调和分割线断 ,或 、 、 、 为调和点列(特别地,若 为 的中点时,则 为无穷远点).若从直线外一点 引射线 、 、 、 ,则称该线束为调和线束,且 与 共轭,或 与 共轭. 性质1 如图11-1,设 、 、 、 是共线四点,点 为 的中点,则 、 调和分割线段 的充要条件满足下述六个条件之一: (1)点 、 调和分割 ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 证明 (1)由 、 调和分割 . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . 性质2 (调和点列的角元形式)设 、 、 、 是共线四点,过共点直线外一点 引射线 , , , .令 , , ,则 的 充要条件 . 证明 如图11-2,运用三角形正弦定理,有 , , , . 于是 , . 从而 , 故 . 性质3 设 、 、 、 是共线四点,过共点直线外一点 引射线 、 、 、 ,则 、 调和分割线段 充要条件是满足下 压缩包中的资料: 第十一章 线段调和分割的性质及应用(1).doc 第十一章 线段调和分割的性质及应用(2).doc 第十一章 线段调和分割的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第5章 张角定理及应用 【基础知识】 张角定理 设 , , 顺次分别是平面内一点 所引三条射线 , , 上的点,线段 , 对点 的张角分别为 , ,且 ,则 , , 三点共线的充要条件是: . 证明 如图5-1, , , 三点共线 . 推论 在定理的条件下,且 ,即 平分 ,则 , , 三点共线的充要条件是: . 注 若规定角的绕向,逆时针方向为正,否则为负,则上述定理、推论中的点 可表示在 的延长线上的情形. 上述定理把平面几何和三角函数紧密相联,它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式.用它去解几何题,适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识,可以大大简化解题步骤,众多的几何问题可以简捷地解决. 【典型例题与基本方法】 1.恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角,是应用张角定理的关键 例1 如图5-2,已知 为四边形,两组对边延长后得交点 , ,对角线 , 的延长线交 于 .求证: . (1978年全国竞赛题) 证明 以 为视点,令 , ,分别对 , , 压缩包中的资料: 第5章 张角定理及应用.doc 第五章 张角定理及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第六章西姆松定理及应用 【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足点共线(此线常称为西姆松线). 证明如图6-1,设 为 的外接圆上任一点,从 向三边 , , 所在直线作垂线,垂足分别为 , , .连 , ,由 , , , 四点共圆,有 . 又 , , , 四点共圆,有 . 故 ,即 , , 三点共线. 注 此定理有许多证法.例如,如下证法: 如图6-1,连 ,令 , , ,则 , , ,且 , , , , , .对 ,有 .故由梅涅劳斯定理之逆定理,知 , , 三点共线. 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证(略). 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上. 证明如图6-1,设点 在 的三边 , , 所在直线上的射影分别为 , , ,且此三点共线.由 于 , 于 , 于 ,知 , , , 及 , , , 分别四点共圆,而 与 相交于 ,则 ,从而 , , , 四点共圆,即点 在 的外接圆上. 【典型例题与基本方法 压缩包中的资料: 第六章西姆松定理及应用.doc 第六章西姆松定理及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第七章九点圆定理及应用 【基础知识】 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,这九点共圆. 如图7-1,设 三条高 , , 的垂足分别为 , , ;三边 , , 的中点分别为 , , ;又 , , 的中点分别为 , , .求证: , , , , , , , , 九点共圆. 证法1连 , , , ,则知 ,即知 为平行四边形.又 ,知 为矩形.从而 , , , 四点共圆,且圆心 为 与 的交点.同理, 为矩形,从而 , , , , , 六点共圆,且 , , 均为这个 圆的直径. 由 ,知 , , 三点也在这个圆上.故 , , , , , , , , 九点共圆. 证法2设 的外心为 ,取 的中点并记为 ,连 ,以 为圆心, 为半径作 ,如图 . 由 ,知 在 上.同理, , 也在 上. 由 (可由延长 交 的外接圆于 ,得 为平行四边形,此时 为 的中点,则 为 的中位线即得),知 .又 ,知 ,从而 ,且 , , 共线,故 在 上. 同理, , 在 上. 由 , , 共线知 为 的一条直径. 又 , , , 压缩包中的资料: 第七章九点圆定理及应用.doc 第七章九点圆定理及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第一章涅劳斯定理及应用 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设 , , 分别是 的三边 , , 或其延长线上的点,若 , , 三点共线,则 . ① 证明 如图 ,过 作直线 交 的延长线于 ,则 , ,故 . 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法. 正弦定理证法 设 , , ,在 中,有 ,同理, , ,此三式相乘即证. 面积证法 由 , , ,此三式相乘即证. 梅涅劳斯定理的逆定理 设 , , 分别是 的三边 , , 或其延长线上的点,若 , ② 则 , , 三点共线. 证明 设直线 交 于 ,则由梅涅劳斯定理,得到 . 由题设,有 ,即有 . 又由合比定理,知 ,故有 ,从而 与 重合,即 , , 三点共线. 有时,也把上述两个定理合写为:设 , , 分别是 的三边 , , 所在直线(包括三边的延长线)上的点,则 , , 三点共线的充要条件是 . 上述①与②式是针对 而言的,如图 (整个图中有4个三角形),对于 、 、 也有下述形式的充要条件: ; ; . ③ 第一角元形式的梅涅劳斯定理 压缩包中的资料: 第1章梅涅劳斯定理及应用.doc 第一章梅涅劳斯定理及应有答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二章 塞瓦定理及应用 【基础知识】 塞瓦定理 设 , , 分别是 的三边 , , 或其延长线上的点,若 , , 三线平行或共点,则 . ① 证明 如图2-1( )、( ),若 , , 交于一点 ,则过 作 的平行线,分别交 , 的延长线于 , ,得 . 又由 ,有 . 从而 . 若 , , 三线平行,可类似证明(略). 注 (1)对于图2-1( )、( )也有如下面积证法: 由: ,即证. (2)点 常称为塞瓦点. (3)共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证. 首先,由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理. 如图2-1( )、( ),分别对 及截线 ,对 及截线 应用梅涅劳斯定理有 , . 上述两式相乘,得 . 其次,由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理. 如图2-2,设 , , 分别为 的三边 , , 所在直线上的点,且 , , 三点共线.令直线 与 交于点 ,直线 与 交于点 ,直线 与 交于点 . 分别视点 , , , , , 为塞瓦点,应用塞瓦定理,即 对 及点 (直线 , , 的交点),有 压缩包中的资料: 第二章 塞瓦定理及应用.doc 第二章塞瓦定理及应用答.doc [来自e网通客户端]