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初中竞赛 · 教学指导
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简介:第22讲 圆的基本性质 基础过关题 1.(2016·茂名)如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( A ) A.150° B.140° C.130° D.120° 2.(2016·张家界)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦.若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是( D ) A.75° B.60° C.45° D.30° 3.(2016·自贡)如图,在⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( C ) A.15° B.25° C.30° D.75° 4.(2016·兰州)如图,在⊙O中,若点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC=( A ) A.40° B.45° [来自e网通客户端]

简介:第28讲 概率 基础过关题 1.(2016·凉山模拟)下列事件中,不是随机事件的是( D ) A.打开电视机正好在播放广告 B.从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球 C.从课本中任意拿一本书正好拿到数学书 D.明天太阳会从西方升起 2.(2016·德阳旌阳区一模)下列说法错误的是( B ) A.必然事件发生的概率为1 B.不确定事件发生的概率为0.5 C.不可能事件发生的概率为0 D.随机事件发生的概率介于0和1之间 3.(2016·乐山模拟)在一个不透明的布袋中,红、黑球共10个,它们除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%附近,则布袋中红球的个数可能是( A ) A.2个 B.5个 C.8个 D.10个 4.(2016·凉山模拟)掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子,则向上一面的数不大于4的概率是( C ) A. B. C. [来自e网通客户端]

简介:第二十八章 椭圆的性质及应用 【基础知识】 椭圆具有一般圆锥曲线的性质外,还具有如下有趣性质: 性质1椭圆 的左右焦点分别为 , ,其上任意一点 处的两条焦半径长分别为 , (其中 为椭圆离心率, , 分别为左、右焦点.下均同). 性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切. 证明设 为椭圆 上一点, 为中心, 为 的中点,则 ,即圆心距等于两圆半径之差,故 与 (a)相切. 为叙述方便,定义椭圆上非顶点的某一点 与两焦点 , 所构成的三角形为焦点三角形,且称顶点 的内、外角平分线(即 点处的法、切线)与长轴的交点分别为内点 、外点 . 性质3椭圆焦三角形中,内点 到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数 . 证明设内点为 ,则 . 性质4椭圆焦三角形中,(I)其内心 将内点 与 点连线段分成定比 ;(Ⅱ)半焦距为内点 、外点 到椭圆中心的距离的比例中项,即 ;(Ⅲ)椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距,半焦距与外点到同侧焦点之距成比例,即 ;(Ⅳ)半焦距、外点与椭圆中心连线段、内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比 压缩包中的资料: 第二十八章椭圆的性质及应用.doc 第二十八章椭圆的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十九章 双曲线的性质及应用 【基础知识】 双曲线具有一般圆锥曲线的性质外,还具有下述有趣性质: 性质1双曲线 的左、右焦点为 , ,其上任意一点 处的两条焦半径长,当 以时, , ;当 时, , . 性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切. 证明设双曲线方程为 ,其上任一点 ,设两焦点为 , , 的中点为 ,中心 为 的中点,则 ,但以实轴为直径的圆 与以 为直径的圆的半径之和为 ,即证. 性质3设 , 是双曲线 的左、右焦点,点 是双曲线上异于顶点的任意一点,(I) 的最小值为 ;(Ⅱ)设 ,则 ,且 ;(Ⅲ)设 , ,则当点 在双曲线右支上时, ;当点 在双曲线左支上时, . 证明(I)当 为双曲线顶点时,即取最小值. (Ⅱ)在 中,由余弦定理, ,由 ,有 ,两式相减,化简即得 . . (Ⅲ) 在右支上时,由 及正弦定理,有 .由等比定理,有 .故 ,故 . 点在左支上时,同理可证. 性质4 是双曲线 上异于顶点的一点, 是中心, , 为其左、右焦点,令 ,则 . 其证明与椭圆性质8的证明类似. 性质5直线 与双曲线 相交 压缩包中的资料: 第二十九章双曲线的性质及应用.doc 第二十九章双曲线的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第三十章 抛物线的性质及应用 习题A 1.设抛物线的极坐标方程 ,则弦 分为 , ,且 . 2.连 ,则 .由例9(Ⅰ)的逆命题,知 . 3.连 ,则 .又由 ,知 , , , 四点共圆,从而由同圆中等圆周角所对的弦相等,得 . 4.设存在两点 , 关于 对称,设 的中点为 .设 的参数方程为 ( 为参数),代入抛物线方程,化简得 .由 ,得 ,则 . 又 ,则 ,故 为所求. 5.由抛物线定义,知 , ,有 , ,从而知 ,又 ,则 .而 为 中点,故 . 6.设 , , ,则 , .由此两式相减得 ,两式相加得 .又 ,则 .于是 ,当且仅当 时, ,即 到 轴最短距离为 . 7. ,可视为抛物线 上一点 到两定点 , 的距离和的最小值,而 恰为焦点,故 到其准线的距离 为所求. 习题B 1.因 与 两圆相切,且都与 轴相切,则 ,即 .而 ,则 ,即 ,故数列 是以 为首项,公差 的等差数列,从而 ,即 , ,故 的周长为 ,所以 . 2.设四点 , , , 共圆的圆方程为 ,并与 联立消去 ,得 .令 ,则 ,而 .同理 .从而由 ,知 压缩包中的资料: 第三十章 抛物线的性质及应用答.doc 第三十章抛物线的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A 1.连 , ,设 为 的中点,则 ,于是 即为 与 所成的角,且 .不妨设正方体棱长为1,则 , , .在 中 为所求. 2.问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置.由条件,设正方体 的棱 , , 与所给平面的夹角相同,可知所给平面与面 平行.进一步,面 与此正方体的12条棱的夹角都相同,因而,只需求出棱 与面 所成的角.为此,过 作 面 , 为在面 上的射影,连 ,就有 .注意到 为正三角形,可证 为 的外心,重心.设正方体棱长为 ,则 ,而 ,于是 ,故 . 3.可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形.设点 为正方体 的棱 延长线上一点,使得 , 为 的中点, 为 上的点, ,则由 ,知 ,从而 , , , 共面.设此截面交 于 ,交 于 ,连 ,则截面 为凸五边形. 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.若截面可以为一个正五边形,则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面,过相对的两个面的截线平行,而正五边形中没有平行的边.结论获证. 4.由第3题,知截面交 压缩包中的资料: 第二十一章 平行六面体的性质及应用答.doc 第二十一章平行六面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十六章 圆锥曲线的相关性质及应用 【基础知识】 椭圆、抛物线和双曲线,既可看作平面截圆锥面所得到的截线,又有统一定义与分别定义,因而,这几种曲线的同一性和特殊性决定了它们的几何性质具有相同性和不同性.所以,当我们在一种曲线上得到某项性质时,也容易在其他曲线上找到相关的性质. 由于椭圆、抛物线和双曲线可以看作与无穷远直线分别有零个交点、一个交点和两个交点,又双曲线、椭圆各有唯一的中心且为有穷远点,而抛物线的中心为无穷远点,由此,可得 , , 这三种曲线的互变规律(注意 ): 规律1 椭圆的两焦点连线先演变成抛物线上自焦点出发的射线(中心 由有穷远点演变成右边无穷远点),继而演变成双曲线轴上自焦点出发的两条无重合的射线(中心又由无穷远点演变成左边有穷远点); 规律2 椭圆内部含焦点区域(或外部不含焦点的区域),先演变成抛物线的右侧含焦点区域(或左侧不含焦点的外部区域),继而演变成双曲线左右两支含焦点的内部区域(或左右两支中间不含焦点的外接区域). 关注三种曲线性质的相关性,可以根据一些已有的知识,通过类比的途径进行探索,发掘出更多的知识,也 压缩包中的资料: 第26章 圆锥曲线的相关性质及应用.doc 第二十六圆锥曲线的相关性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十四章 三面角的性质及应用 习题A 1. . 2. . 3.(略) 4.(略) 5. . 习题B 1.不妨设面角 ,在棱 , 上分别取点 , ,使 ,再在棱 上取点 ,使 的长度 同时满足 , . 作二面角 的平分面,设与 相交于点 ,且 关于此平分面的对称点为 , 在平面 内,易知 ,且 ,故平面 上的线段 . 在平面 上以 为圆心, 为半径作圆,则点 在 内,过 作 与 相切于 ,过 ,作 与 相切于 .显然 , ,且在 中, . 同理, .故 . 又 ,而 , ,故 . 同理 ,故 为锐角三角形,即 为锐角三角形. 2.不妨设面角 ,在 上取一点 ,且在 内作 ,交 于 (设 ),则在 中, 为钝角,在棱 上取点 ,使 的长度 满足 . 作二面角 的平分面,设与 相交于点 ,且 关于此平分面的对称点为 ,则 在平面 内,易知 ,且 ,故平面 上的线段 . 在平面 上以 为圆心, 为半径作圆,则点 在 内,过 作 与 相切于 ,显然 ,且在 中, .故 ,从而 ,即 是钝角三角形. 3.不妨设 是锐 压缩包中的资料: 第二十四章 三面角的性质及应用答.doc 第二十四章三面角的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十章空间向量法及应用 【基础知识】 空间向量法是以平面向量法为基础求解立体几何问题,以向量为工具的求解方法. 1.设 , 分别为异面直线 , 的方向向量,则由向量的数量积可知,异面直线 、 的夹角由 给出,且 . 2.设 , 是二面角 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则向量 , 的夹角 ,就是二面角 的平面角. .据此,只要求得二面角两个半平面的异侧法向量,即可得到二面角的平面角.值得指出是,要注意调整好向量的方向,使其夹角为二面角的平面角. 3.设 是平面 的斜线, 是 的法向量, 是垂足,则向量 在 上的射影长 , 与平面 的夹角 为满足 ,即 或 据此,只需求得平面 的一个法向量 及向量 或 与 ,即可求得斜线 与平面 的夹角 . 4.证明直线 与 平行,只需证得其方向向量 、 满足 ;证明平面 与 平行,只需证得它们的法向量 , 满足 ;证明三直线 , , 共面,只需证明其方向向量 , , 满足 . 5.若向量 在向量 上的射影长为 ,则点 到直线 的距离为 . 6.设点 平面 ,则 外一点 到平面 的距离 压缩包中的资料: 第二十章 空间向量法及应用.doc 第二十章 空间向量法及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十五章 一般圆锥曲线的性质及应用 【基础知识】 对于一般圆锥曲线 ,令 .若 ,则 为椭圆型;若 ,则 为抛物线型;若 ,则 为双曲线型. 对于一般圆锥曲线,有如下一系列有趣性质: 性质1 直线 与圆锥曲线 若交于两个不同的点 , ,则称线段 为该曲线的一条弦,弦长由下列公式给出: . 其中 , , 为 代入 中消去 所得二次方程 的各次项系数. 性质2 设 是圆锥曲线过焦点 的弦,其长度记作 , 相对于焦点所在对称轴的倾角为 , , 为离心率, 为焦点到相应准线的距离,则有 与 的关系式: ,或 . 证明 由圆锥曲线统一的极坐标方程 ,得 , ,从而 . 再注意到 ,代入即证得. 注 (i) 时, (通径长); (ii)对于椭圆和双曲线 . 性质3 设 为圆锥曲线焦点,其相应准线为 ,作一直线交圆锥曲线于 , ,交 于 ,则 平分 的 的外角(即 , 与直线 成等角). 证明 如图25-1,从 , 分别向 作垂线 与 ,垂足为 , ,由圆锥曲线定义,有 . 又 ,则 . 从而 .故 平分 的 的外角. 推 压缩包中的资料: 第25章 一般圆锥曲线的性质及应用.doc 第二十五章 一般圆锥曲线的性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十三章 特殊四面体的性质及应用 习题A 1.设四面体 有面 的棱旁切球,由例6结论知 .由例6注中说明有 ,两式相加得 . 同理有 ,即 为正三角形. 又由 及 ,有 . 同理 .从而四面体 为正三棱锥. 反之,若四面体为正三棱锥,显然有:对棱之和相等,且从顶点 引出的任意两棱之和等于对棱之和.由例6及其中注即知结论成立. 2. .设等腰直角三角形 中斜边 的中点为 ,则 为 的外心.由 ,知 在底面 上的射影为 ,球心即为 .而 为等边三角形,则 .故 到平面 的距离 . 3. .设正四面体 的球心为 ,球半径为 ,体积为 ,面 的中心为 ,棱 的中点为E,则 , , ,故 . 4.3.作 ,连 ,则 , 为面 与面 所成二面角的平面角.设 为 的中点,则 力面 与面 所成二面角的平面角,且 .设底面 的边长为 ,侧棱 的长为 ,由 ,有 .在 中,求得 .由 ,有 ,求得 ,即 .由题设 , , ,则 .由此即得结果. 5.(D).由 ,作 交 于 ,连 ,则 ,且 ,有 ,故 且 ,所以 . 6.(D).作 面 于 , 压缩包中的资料: 第二十三章 特殊四面体的性质及应用答.doc 第二十三章特殊四面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十七章 圆的解析性质及应用 【基础知识】 圆有如下一系列有趣的解析性质: 性质1 圆心为 ,半径为 的圆的方程为 . 性质2 二次方程表示圆的方程所应满足的条件是 ,且 . 性质3 圆心为( ),半径为 的圆的参数方程为 ( 为参数). 性质4 与两定点 , ( )距离的比为 ( 且 )的点的轨迹是圆: . 性质5 与两定点 , 的距离的比为 ( 且 , )的轨迹是圆: . 性质6 以点 , 为圆的直径两端点的圆的方程为 . 注 上述方程可变形为 .此式说明:若两曲线的两交点坐标满足它,则此两点为这圆的直径的两端点. 性质7 若直线 与二次曲线 相交于 , 两点,且由 消去 ,得 ;消去 ,得 (其中 与 的二次项系数均为1),那么以 , 为直径端点的圆的直径式方程为 . 证明 设 , 的坐标分别为 , ,则 , 是方程 的两个根; , 是方程 的两个根,即 , .两式相加,有 . 由性质6,即证得结论成立. 性质8 设 为平面直角坐标系原点, 为直线 : ( , 不同时为零)上一点,射线 交圆: 于点 ,若点 压缩包中的资料: 第27章 圆的解析性质及应用.doc 第二十七圆的解析性质及应用答.doc [来自e网通客户端]

简介:第二十二章 一般四面体的性质及应用 习题A 1.由于过不在同一平面上的四点 , , , 可确定一个球面,设该球面分别与棱 , 交于 , ,四边形 和 分别内接于侧面 及 与球面的交线的圆,由圆的割线定理,有 , .于是 , . 因此, , 分别重合于 , ,即 , 在所确定的球面上,亦即 , , , , , 共在一个球面上. 2.在线段 上取点 ,使 在线段 上取一点 ,使 ;在线段 上取一点 ,使 ,则点 为所求的点. 事实上, , , , . 故 ,故点 为所求. 3.由 ,则 , 即 , 而 ,从而 . 由证明过程易知,当且仅当 ,即 或 与 重合时,取得等号. 4.连 , , , 延长分别交对面于 , , , .令 , , , , ,则 ,从而 ,亦即 . 不妨设 ,下证 .因 ,当 时成立.若 ,则 ,则(*)式左边 ,矛盾.从而 . 作 面 ,则 为 的外心, . 设 的最大边长为 ,则 ,从而 .证毕. 5.设 为 的中点, 在面 的射影为 ,连 ,则由 有 . 在 中, ,故 . 同 压缩包中的资料: 第二十二章 一般四面体的性质及应用答.doc 第二十二章一般四面体的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十六章 三角形旁心的性质及应用 习题A 1.先证明 与 的交点 为 与 的共同内心,再证明 的延长线与 的交点 为 与 的一个共同旁心. 2.应用旁切圆的性质、正弦定理和割线定理,通过计算实施证明. 3.由题设知 和 分别是 的 , 的外角平分线,即 为 的旁心,所以 是 的平分线. 作 交 于 ,因 , , ,即 是 的平分线,从而点 是 的内心, 平分 .由于 ,则 . 因 ,故四边形 内接于圆,且圆心在 的斜边 (即 )上,所以过 , , 的圆的圆心在 上. 4.(1)由 ,即证. (2)由 , , , ,知 . 5.连 并延长,过 作 的垂线,两线相交于 ,过 ,作 、 延长线的垂线 , , , 为垂足,由 ,有 .设 切 于 ,连 ,则 ,有 .故 . 又 ,则 .同理有 .从而,以 为圆心, 为半径的圆必切 , , 于 , , ,即 为 的旁切圆.由旁心性质 ,知 . 6.因 是 和 的内心,则由内心性质知 , .又因 是 及 的旁心,由旁心性质 ,知 , .从而 . 同理, , , ,而这四个三角形的高都等于内 压缩包中的资料: 第十六章 三角形旁心的性质及应用答.doc 第十六章三角形旁心的性质及应用.doc [来自e网通客户端]

简介:第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用 习题A 1.作高 ,易知 点是 的垂心.再取 的外心 ,由于 是 的重心,可知 , , 三点共线(欧拉线).由 知 ,亦即 .而 ,知 ,故 , , , 四点共圆.此时, .从而 ,故知 为正三角形. 2.连 , , , , . 、 的延长线分别交 , 于 , .在 中, , .因 ,从而 , ( 为外接圆半径). 又 , 为 的内心,故 , ≌ ,于是有 . 3.若 , 两点重合,易断 为正三角形,此时 , , ,结论显然成立. 若 , 两点互异时,过 , 作直线 .(i)如果 通过 的一个顶点,易断 为一等腰三角形,此时 , , 中,一个为零,其余两个相等,结论也成立.(ii)如果 与 的两边相交,不妨设与 , 相交,延长 交 于 , 必为 的中点,连 .过 , , 分别作到直线 的距离 , , .易证 ,从而 .又由重心性质,知 ,从而 ,故 . 4.设 为 的中点,则 在 上,且 .设 为 的中点, 交 于 ,则 为 的重心.连 交 于 ,则 为 的中点,从而 , ,从而 .又 ,从 压缩包中的资料: 第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用答.doc 第十七章关联三角形巧合点的性质及应用.doc [来自e网通客户端]