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简介:递归数列① 一、知识回顾 (一)数列的差分 定义1 对于数列,称为的一阶差数列,并称 为的一阶差分(简称差分); 的一阶差分叫做的二阶差分; 一般地,设是任一正整数,则称为的阶差分,这里,. 定理1 对于数列,,有 1),这里为常数; 2)或; 3). 定义2 对于数列,若有正整数,使是非零常数列,则称为阶等差数列.当时,阶等差数列统称为高阶等差数列.常数列叫做零阶等差数列. 定理2 是阶等差数列的充要条件为是的次多项式. 定理3 若是阶等差数列,它的前项和为,则是阶等差数列,且. (二)线性递归数列 定义1 对任何自然数,由递推关系确定的数列叫做递推数列. 定义2 若数列自第项以后的任一项都是其前项的线性组合,即 , (Ⅰ) 其中是任意自然数,是常数,且,则称为阶线性递归数列,(Ⅰ)叫做的递归方程. 定理1 阶等差数列是由递归方程 所确定的阶线性递归数列. (三)常见递归数列通项求法 类型Ⅰ:(一阶递 [来自e网通客户端]

简介:递归数列② 一、知识回顾 (一)常见递归数列通项求法续 形如的递推式,两边取对数有,令,则,从而可求得. 如果递归数列{an}满足,其中以及初始值a0≠f(a1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程的根为该数列的不动点. 类型Ⅲ:形如的数列 对于数列,(A、B、C、D是常数且),其特征方程为,变形为…① 若①有二异根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值,这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得. 若①有二重根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值,这样数列是首项为,公差为的等差数列,于是这样可求得. 二、例题分析 例1、给定数列,x1=1,且,则________ 例2、已知数列满足,,求. 例3、数列中,求. 例4、数列定义如下:,,求它的通项公式. 例5、已知数列和中,且,求. 例6、数列{an}满足a0=1,,,证明:(1)对于任意,a为整 [来自e网通客户端]

简介:常见的初等函数.二次函数 一.基础知识 1.常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数(等),反三角函数(等)是数学中最为基本的函数,我们把它们统称为基本初等函数. 基本初等函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性等基本性质,并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时,若绘出各基本初等函数的草图,往往能“一目了然”地获得问题的结果. 2.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的,我们称之为初等函数,其中二次函数和形如的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式.值域的有关方法,并会用这些方法解决相关的问题;会判断二次方程根的分布情况;会利用函数的性质求出一些分式函数的值域. 二.典型例题 例1.求下列函数的定义域: (1); (2). 【解】(1)根据题意有, ① 当时,上式等价于,即, ② 当时,上式等价于,即, 所以当时,函数定义域为;当时,函数定义域为. (2)根据题意有,即,即, 解 [来自e网通客户端]

简介:等差与等比数列 一、知识回顾 数列是中学数学中一个重要的课题,也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看,数列可以看做是一个函数,定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集,函数表达式就是数列的通项公式. 1、对于数列{an},把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和,则有 2、等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+(n-1)d =+(n-k)d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广:2= 。推广: 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q,则。 2 若成等差数列(其中)则也为等差数列。 若成等差数列 (其中),则成等比数列。 3 成等差数列。 成等比数列。 4 , [来自e网通客户端]

简介:不定方程 (一)知识、技能、方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制(如整数、正整数或有理数)的方程. 一、二元一次不定方程(组)及解法 形如,不同时为零)的方程称为二元一次方程. 定理一:如果,则一定存在两个整数,使得. 定理二:方程有整数解的充分必要条件是. 定理三:若,且为的一个解,则方程的一切解都可以表示为(t为整数). 二、高次不定方程(组)及解法 1、因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而求解若干个方程组. 2、同余法:如果不定方程有整数解,则对于任意,其整数解满足. 3、不等式估计法:先利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,再分别求解. 4、无穷递降法:若关于正整数的命题对某些正整数成立,设是使成立的最小正整数,可以推出:存在,使得,适合证明不定方程无正整数解. 三、特殊的不定方程 1、的整数解:常利用因式分解法 2、勾股方程的正整数解:由方程不难看出,如果,则,从而,这样可在勾股方程的两边 [来自e网通客户端]

简介:高斯函数 按实数定义,对任一实数,总有.这样的通常记为. 数论函数,称为高斯函数,又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. (一)知识、技能、方法 1、有关概念 对任意实数,是不超过的最大整数,称为的整数部分。与它相伴随的是小数部分函数,. 2、重要性质 由、的定义不难得到如下性质: (1)的定义域为R,值域为Z;的定义域为R,值域为. (2)对任意实数,都有,且. (3)对任意实数,都有,. (4)是不减函数,即若则,其图像如图I; 是以1为周期的周期函数,如图Ⅱ. 图Ⅰ 图Ⅱ (5);,其中. (6)对任意x、y∈R,有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. (7)对任意,有. (8),其中n∈N+,x∈R. (9)若,,则从1到的整数中,的倍数有个. (10)在的标准分解式中,素数的最高指数, 这里,是非负整数. 3、常用方法 ⑴定义法; ⑵讨 [来自e网通客户端]

简介:函数的图象与性质 一、基础知识 1、函数的性质 (1)奇偶性 设函数的定义域为,且是关于原点对称的数集.若对任意的,都有,则称是奇函数;若对任意的,都有,则称是偶函数. (2)单调性 设函数在区间上满足:对任意,并且时,总有,则称是区间上的增函数(减函数),区间称为的一个单调增(减)区间. 复合函数的单调性的判断依据:“同增异减”. (3)函数的周期性 对于函数,如果存在一个不为零的正数,使得当取定义域中的每个数时,总成立,那么称是周期函数,称为这个周期函数的周期.如果函数的所有正周期中存在最小值,称为周期函数的最小正周期. 2、函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 二、基础训练 1、若函数存在反函数,则的图象与的图象关于直线_________对称. 【解】互为反函数的两个函数的图象关于直线对称,与的图象关于原点对称,故的图象与的图象关于直线对称. 2、对,设,那么的最大值为__________ 【解】利用数形结合可知. 3、设,其中 [来自e网通客户端]

简介:集合的性质与划分 一、基础知识 本讲内容包括集合的划分和子集、子集个数及子集的应用. 集合上的运算问题,形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 设表示任意元素,,表示两个集合,若,则,即集合是集合的子集.规定空集是任何集合的子集.子集是由原集合中的部分元素构成.对于由个元素组成的集合,它的每一个子集中元素的构成,都是对这个元素进行选择的结果,由于对每一个元素的选择都有两种可能(选上或不选),因此,对这个元素共有种不同选择结果,即由个元素组成的集合共有个不同子集.其中,不同的非空子集有个,不同的真子集有个. 加法原理:做一件事有类办法,第一类办法中有种不同的方法,第二类办法中有种不同的方法,…,第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不同的方法。 乘法原理:做一件事分个步骤,第一步有种不同的方法,第二步有种不同的方法,…,第步有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不 [来自e网通客户端]

简介:几个重要数论定理 (一)知识、技能、方法 一、计算欧拉函数的一般公式 定理1:若是素数,则. 定理2:若,则. 定理3:若整数的标准分解式为,则 . 二、欧拉定理 若,则. 三、费马小定理 若是素数,则;若,则. 四、威尔逊定理 若是素数,则. 五、中国剩余定理(孙子定理) 设是个两两互质的正整数,设,, 为任意整数,则同余式组 有唯一解, 其中为满足的任意整数. (二)例题分析 例1、已知是使成立的最小正整数,求证:. 例2、设,求证. 例3、设,求证与的末三位数相同. 例4、设和分别是的一组完全剩余系,且, 求证:不是的一组完全剩余系. 例5、证明:数列中有一个无穷子数列,其中任意两项互素. 例6、证明当素数时,能被240整除. 例7、证明:. 例8、设和是自然数,满足:对任意自然数,与和与具有相同的最大公约数,证明存在某个整数,使 [来自e网通客户端]

简介:几何体的面积和体积、截面问题 一、知识要点 1、几何体的面积主要包括表面积和截面的面积. 几何体的体积计算应重视以下常用的方法和技巧:(1)转移法(即利用祖暅原理或等积变换,把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积);(2)分割求和法;(3)补形求差法;(4)交换底面求三棱锥(或四面体)的体积. 2、截面:用平面去截几何体,平面与几何体表面的交线所围成的平面图形. 截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位、定形、定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其三个推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图. 二、例题分析 【题组1】 【题组2】 [来自e网通客户端]

简介:简单的多面体和旋转体 一、知识要点 1、棱柱、棱锥 棱柱和棱锥是两个基本的多面体,是立体几何中线段、线面、面面关系的重要载体.对于直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体和正方体等一些特殊的棱柱,要重视它们各自的性质以及彼此间的联系.要熟悉正棱锥中的四个直角三角形,它们包含了棱锥的高,斜高,侧棱,底边长的一半,底面正多边形的外接圆半径、内切圆半径,侧棱与底面所成的角,侧面与底面所成的角等诸多元素. 2、棱台 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台. 正棱台是由正棱锥截得而成. 3、旋转体 ① 圆柱、圆锥、圆台 分别由矩形的一边,直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫圆柱、圆锥、圆台.其中圆台可以看作用平行于圆锥底面的平面去截圆锥得到. 旋转轴叫做它的轴;轴上这条边的长度叫它的高; 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫它的底面; 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫它的侧面; 无论这条边旋转到什么位置,均叫它的母线. ② 球 球冠:球面被平面所截得的一部分叫做球冠, [来自e网通客户端]

简介:简单的函数方程与迭代 一、函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程,如,,、等,其中是未知函数. 二、定理(柯西函数方程的解) 若是单调(或连续)函数且满足,则. 【证明】由题设不难得, 取,得, 令,则,解得, --------- (1) 令,则, 令,则,解得 --------- (2) 令,且令,则, ∴且, --------- (3) 由上述(1),(2),(3)知:对任意有理数均有, 另一方面,对于任意的无理数,因连续,取以为极限的有理数序列, 则有:, 综上所述,对于任意实数,有. 三、函数方程的解法: 1、代换法(或换元法) 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化),得到一个新的函数方程,然后设法求得未知函数. 例1、(1)已知,那么_____________ 【解】 (2)已知,那么______ [来自e网通客户端]

简介:第41讲 解不等式 本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝对值的不等式的解法. 解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理. 解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系,它们互相转化、相互渗透,又有所区别. A类例题 例1 解不等式 解:对任意x,,因此该式可省略,再把6-x变为x-6,不等号方向作相应改变,即原不等式与不等式同解. 用数轴标根法  原不等式的解集为 说明:高于二次的不等式称为高次不等式.解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解,使每个因式成为一次或二次式,而且各因式中x的最高次数的那一项的系数应为正数. 链接:早年,人们解高次不等式都要列表,过程有点繁.1977年美国人普鲁特和莫里(M.H.protter, C.B.Morrey)将列表法简化为数轴上直接表示的方法,既快捷又方便,答案在数轴上一目了然. 例2 解不等式 解:(1)当x》0时,原不等式化为 ; (2)当x《0时,原不等式化为 . 综合(1)(2),原不等式的解 [来自e网通客户端]

简介:第43讲 柯西不等式 柯西不等式是不等式中的经典之一。本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明不等式等方面的应用。 柯西不等式的二维形式:若都是实数,则,当且仅当时,等号成立。 柯西不等式的一般形式:设,是实数,则 ,当且仅当 或存在一个数,使得时,等号成立。 柯西不等式的变形形式: 变形1. 设,,则当且仅当时,等号成立。 变形2. 设,同号且不为0,则 ,当且仅当时,等号成立。 对于柯西不等式的一般形式,我们将在本节的附录里给出证明。 A类例题 例1 为正的常数,,,求的最小值。 分析:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件,这个函数的解析式是两部分的和,可看作,如再能出现,则可用,注意到 解法一:用柯西不等式 ,因此,当且仅当,即时,取得最小值。 解法二:用平均值不等式 ,同时可以算得,当且仅当时,即时取得最小值。 说明:解法一和解法二都作了凑配,凑配之后,才能用上相应的不等式。 例2 如图 [来自e网通客户端]

简介:空间的角与距离 一、知识要点 1、求异面直线所成角 2、求直线与平面所成角 3、求二面角 4、求两点A,B间距离 5、求点到直线的距离 6、求点到平面的距离 7、求异面直线的距离 二、例题分析 【题组1】 1.在棱长为的正方体中,下列说法正确的是…………( ) A.直线与是距离为的异面直线 B.异面直线与的公垂线是 C.异面直线与的公垂线长是 D.异面直线与的公垂线是 2.在矩形中,,平面,且,则点到直线的距离为…………( ) 【题组2】 【题组3】 [来自e网通客户端]