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高中竞赛 · 教学指导
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简介:递归数列① 一、知识回顾 (一)数列的差分 定义1 对于数列,称为的一阶差数列,并称 为的一阶差分(简称差分); 的一阶差分叫做的二阶差分; 一般地,设是任一正整数,则称为的阶差分,这里,. 定理1 对于数列,,有 1),这里为常数; 2)或; 3). 定义2 对于数列,若有正整数,使是非零常数列,则称为阶等差数列.当时,阶等差数列统称为高阶等差数列.常数列叫做零阶等差数列. 定理2 是阶等差数列的充要条件为是的次多项式. 定理3 若是阶等差数列,它的前项和为,则是阶等差数列,且. (二)线性递归数列 定义1 对任何自然数,由递推关系确定的数列叫做递推数列. 定义2 若数列自第项以后的任一项都是其前项的线性组合,即 , (Ⅰ) 其中是任意自然数,是常数,且,则称为阶线性递归数列,(Ⅰ)叫做的递归方程. 定理1 阶等差数列是由递归方程 所确定的阶线性递归数列. (三)常见递归数列通项求法 类型Ⅰ:(一阶递 [来自e网通客户端]

简介:递归数列② 一、知识回顾 (一)常见递归数列通项求法续 形如的递推式,两边取对数有,令,则,从而可求得. 如果递归数列{an}满足,其中以及初始值a0≠f(a1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程的根为该数列的不动点. 类型Ⅲ:形如的数列 对于数列,(A、B、C、D是常数且),其特征方程为,变形为…① 若①有二异根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值,这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得. 若①有二重根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值,这样数列是首项为,公差为的等差数列,于是这样可求得. 二、例题分析 例1、给定数列,x1=1,且,则________ 例2、已知数列满足,,求. 例3、数列中,求. 例4、数列定义如下:,,求它的通项公式. 例5、已知数列和中,且,求. 例6、数列{an}满足a0=1,,,证明:(1)对于任意,a为整 [来自e网通客户端]

简介:常见的初等函数.二次函数 一.基础知识 1.常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数(等),反三角函数(等)是数学中最为基本的函数,我们把它们统称为基本初等函数. 基本初等函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性等基本性质,并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时,若绘出各基本初等函数的草图,往往能“一目了然”地获得问题的结果. 2.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的,我们称之为初等函数,其中二次函数和形如的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式.值域的有关方法,并会用这些方法解决相关的问题;会判断二次方程根的分布情况;会利用函数的性质求出一些分式函数的值域. 二.典型例题 例1.求下列函数的定义域: (1); (2). 【解】(1)根据题意有, ① 当时,上式等价于,即, ② 当时,上式等价于,即, 所以当时,函数定义域为;当时,函数定义域为. (2)根据题意有,即,即, 解 [来自e网通客户端]

简介:等差与等比数列 一、知识回顾 数列是中学数学中一个重要的课题,也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看,数列可以看做是一个函数,定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集,函数表达式就是数列的通项公式. 1、对于数列{an},把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和,则有 2、等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+(n-1)d =+(n-k)d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广:2= 。推广: 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q,则。 2 若成等差数列(其中)则也为等差数列。 若成等差数列 (其中),则成等比数列。 3 成等差数列。 成等比数列。 4 , [来自e网通客户端]

简介:高斯函数 按实数定义,对任一实数,总有.这样的通常记为. 数论函数,称为高斯函数,又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. (一)知识、技能、方法 1、有关概念 对任意实数,是不超过的最大整数,称为的整数部分。与它相伴随的是小数部分函数,. 2、重要性质 由、的定义不难得到如下性质: (1)的定义域为R,值域为Z;的定义域为R,值域为. (2)对任意实数,都有,且. (3)对任意实数,都有,. (4)是不减函数,即若则,其图像如图I; 是以1为周期的周期函数,如图Ⅱ. 图Ⅰ 图Ⅱ (5);,其中. (6)对任意x、y∈R,有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. (7)对任意,有. (8),其中n∈N+,x∈R. (9)若,,则从1到的整数中,的倍数有个. (10)在的标准分解式中,素数的最高指数, 这里,是非负整数. 3、常用方法 ⑴定义法; ⑵讨 [来自e网通客户端]

简介:不定方程 (一)知识、技能、方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制(如整数、正整数或有理数)的方程. 一、二元一次不定方程(组)及解法 形如,不同时为零)的方程称为二元一次方程. 定理一:如果,则一定存在两个整数,使得. 定理二:方程有整数解的充分必要条件是. 定理三:若,且为的一个解,则方程的一切解都可以表示为(t为整数). 二、高次不定方程(组)及解法 1、因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而求解若干个方程组. 2、同余法:如果不定方程有整数解,则对于任意,其整数解满足. 3、不等式估计法:先利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,再分别求解. 4、无穷递降法:若关于正整数的命题对某些正整数成立,设是使成立的最小正整数,可以推出:存在,使得,适合证明不定方程无正整数解. 三、特殊的不定方程 1、的整数解:常利用因式分解法 2、勾股方程的正整数解:由方程不难看出,如果,则,从而,这样可在勾股方程的两边 [来自e网通客户端]

简介:集合的性质与划分 一、基础知识 本讲内容包括集合的划分和子集、子集个数及子集的应用. 集合上的运算问题,形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 设表示任意元素,,表示两个集合,若,则,即集合是集合的子集.规定空集是任何集合的子集.子集是由原集合中的部分元素构成.对于由个元素组成的集合,它的每一个子集中元素的构成,都是对这个元素进行选择的结果,由于对每一个元素的选择都有两种可能(选上或不选),因此,对这个元素共有种不同选择结果,即由个元素组成的集合共有个不同子集.其中,不同的非空子集有个,不同的真子集有个. 加法原理:做一件事有类办法,第一类办法中有种不同的方法,第二类办法中有种不同的方法,…,第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不同的方法。 乘法原理:做一件事分个步骤,第一步有种不同的方法,第二步有种不同的方法,…,第步有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不 [来自e网通客户端]

简介:函数的图象与性质 一、基础知识 1、函数的性质 (1)奇偶性 设函数的定义域为,且是关于原点对称的数集.若对任意的,都有,则称是奇函数;若对任意的,都有,则称是偶函数. (2)单调性 设函数在区间上满足:对任意,并且时,总有,则称是区间上的增函数(减函数),区间称为的一个单调增(减)区间. 复合函数的单调性的判断依据:“同增异减”. (3)函数的周期性 对于函数,如果存在一个不为零的正数,使得当取定义域中的每个数时,总成立,那么称是周期函数,称为这个周期函数的周期.如果函数的所有正周期中存在最小值,称为周期函数的最小正周期. 2、函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 二、基础训练 1、若函数存在反函数,则的图象与的图象关于直线_________对称. 【解】互为反函数的两个函数的图象关于直线对称,与的图象关于原点对称,故的图象与的图象关于直线对称. 2、对,设,那么的最大值为__________ 【解】利用数形结合可知. 3、设,其中 [来自e网通客户端]

简介:几何体的面积和体积、截面问题 一、知识要点 1、几何体的面积主要包括表面积和截面的面积. 几何体的体积计算应重视以下常用的方法和技巧:(1)转移法(即利用祖暅原理或等积变换,把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积);(2)分割求和法;(3)补形求差法;(4)交换底面求三棱锥(或四面体)的体积. 2、截面:用平面去截几何体,平面与几何体表面的交线所围成的平面图形. 截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位、定形、定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其三个推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图. 二、例题分析 【题组1】 【题组2】 [来自e网通客户端]

简介:几个重要数论定理 (一)知识、技能、方法 一、计算欧拉函数的一般公式 定理1:若是素数,则. 定理2:若,则. 定理3:若整数的标准分解式为,则 . 二、欧拉定理 若,则. 三、费马小定理 若是素数,则;若,则. 四、威尔逊定理 若是素数,则. 五、中国剩余定理(孙子定理) 设是个两两互质的正整数,设,, 为任意整数,则同余式组 有唯一解, 其中为满足的任意整数. (二)例题分析 例1、已知是使成立的最小正整数,求证:. 例2、设,求证. 例3、设,求证与的末三位数相同. 例4、设和分别是的一组完全剩余系,且, 求证:不是的一组完全剩余系. 例5、证明:数列中有一个无穷子数列,其中任意两项互素. 例6、证明当素数时,能被240整除. 例7、证明:. 例8、设和是自然数,满足:对任意自然数,与和与具有相同的最大公约数,证明存在某个整数,使 [来自e网通客户端]

简介:简单的多面体和旋转体 一、知识要点 1、棱柱、棱锥 棱柱和棱锥是两个基本的多面体,是立体几何中线段、线面、面面关系的重要载体.对于直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体和正方体等一些特殊的棱柱,要重视它们各自的性质以及彼此间的联系.要熟悉正棱锥中的四个直角三角形,它们包含了棱锥的高,斜高,侧棱,底边长的一半,底面正多边形的外接圆半径、内切圆半径,侧棱与底面所成的角,侧面与底面所成的角等诸多元素. 2、棱台 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台. 正棱台是由正棱锥截得而成. 3、旋转体 ① 圆柱、圆锥、圆台 分别由矩形的一边,直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫圆柱、圆锥、圆台.其中圆台可以看作用平行于圆锥底面的平面去截圆锥得到. 旋转轴叫做它的轴;轴上这条边的长度叫它的高; 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫它的底面; 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫它的侧面; 无论这条边旋转到什么位置,均叫它的母线. ② 球 球冠:球面被平面所截得的一部分叫做球冠, [来自e网通客户端]

简介:简单的函数方程与迭代 一、函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程,如,,、等,其中是未知函数. 二、定理(柯西函数方程的解) 若是单调(或连续)函数且满足,则. 【证明】由题设不难得, 取,得, 令,则,解得, --------- (1) 令,则, 令,则,解得 --------- (2) 令,且令,则, ∴且, --------- (3) 由上述(1),(2),(3)知:对任意有理数均有, 另一方面,对于任意的无理数,因连续,取以为极限的有理数序列, 则有:, 综上所述,对于任意实数,有. 三、函数方程的解法: 1、代换法(或换元法) 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化),得到一个新的函数方程,然后设法求得未知函数. 例1、(1)已知,那么_____________ 【解】 (2)已知,那么______ [来自e网通客户端]

简介:第41讲 解不等式 本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝对值的不等式的解法. 解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理. 解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系,它们互相转化、相互渗透,又有所区别. A类例题 例1 解不等式 解:对任意x,,因此该式可省略,再把6-x变为x-6,不等号方向作相应改变,即原不等式与不等式同解. 用数轴标根法 原不等式的解集为 说明:高于二次的不等式称为高次不等式.解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解,使每个因式成为一次或二次式,而且各因式中x的最高次数的那一项的系数应为正数. 链接:早年,人们解高次不等式都要列表,过程有点繁.1977年美国人普鲁特和莫里(M.H.protter, C.B.Morrey)将列表法简化为数轴上直接表示的方法,既快捷又方便,答案在数轴上一目了然. 例2 解不等式 解:(1)当x》0时,原不等式化为 ; (2)当x《0时,原不等式化为 . 综合(1)(2),原不等式的解 [来自e网通客户端]

简介:空间的角与距离 一、知识要点 1、求异面直线所成角 2、求直线与平面所成角 3、求二面角 4、求两点A,B间距离 5、求点到直线的距离 6、求点到平面的距离 7、求异面直线的距离 二、例题分析 【题组1】 1.在棱长为的正方体中,下列说法正确的是…………( ) A.直线与是距离为的异面直线 B.异面直线与的公垂线是 C.异面直线与的公垂线长是 D.异面直线与的公垂线是 2.在矩形中,,平面,且,则点到直线的距离为…………( ) 【题组2】 【题组3】 [来自e网通客户端]

简介:第43讲 柯西不等式 柯西不等式是不等式中的经典之一。本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明不等式等方面的应用。 柯西不等式的二维形式:若都是实数,则,当且仅当时,等号成立。 柯西不等式的一般形式:设,是实数,则 ,当且仅当 或存在一个数,使得时,等号成立。 柯西不等式的变形形式: 变形1. 设,,则当且仅当时,等号成立。 变形2. 设,同号且不为0,则 ,当且仅当时,等号成立。 对于柯西不等式的一般形式,我们将在本节的附录里给出证明。 A类例题 例1 为正的常数,,,求的最小值。 分析:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件,这个函数的解析式是两部分的和,可看作,如再能出现,则可用,注意到 解法一:用柯西不等式 ,因此,当且仅当,即时,取得最小值。 解法二:用平均值不等式 ,同时可以算得,当且仅当时,即时取得最小值。 说明:解法一和解法二都作了凑配,凑配之后,才能用上相应的不等式。 例2 如图 [来自e网通客户端]

简介:排列与组合 一、知识回顾 1、排列与组合问题是一类特殊的计数问题,它的解决需要用到以下几个基本工具: ①对应原理; ②分类计数原理; ③分步计数原理; ④容斥原理 2、排列与组合问题的求解策略: (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除. (2)分类与分步:有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11 [来自e网通客户端]

简介:第44讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用. 排序不等式(又称排序定理):给定两组实数a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn.如果a1≤a2≤……≤an;b1≤b2≤……≤bn.那么a1bn+a2bn-1+……+anb1(反序和)≤a1+a2+……+an(乱序和)≤a1b1+a2b2+……+anbn(同序和), 其中i1,i2,……,in是1,2,……,n的一个排列. 该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值. 切比雪夫不等式:设有两个有序数组a1≤a2≤……≤an;b1≤b2≤……≤bn.则 (a1bn+a2bn-1+……+anb1)≤ · ≤ (a1b1+a2b2+……+anbn), 其中等号仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时取得. 琴生不等式又称凸函数不等式,它建立在凸函数的基础上. 定义 设连续函数f(x)的定义域是[a,b](开区间(a,b)或(-∞,+∞)上均可),如果对于区间[a,b]内的任意两点x1,x [来自e网通客户端]

简介:平均不等式 本节主要内容是两个、三个或n个(n∈N+)正数的算术平均数不小于它的几何平均数,也就是 对于一般正整数n的平均不等式,我们将在本节的附录里给出证明. A类例题 例1 证明:对任意实数a》1,b》1, 有 分析:由对称性,容易算出当a=b=2时等号成立,此时 证明: 即 同理 两同向不等式相加得,a=b=2时等号成立. 说明:不等式中什么时候等号成立,应该看作是一种信息,有时能帮助我们找到证题的入口.本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性. 链接:本题可以稍作引申: 当a》1,b》1,c》1时, 例2 已知a2,…, an是n个正数,满足c=1 求证:(2+ a1)(2+ a2)…(2+ an) (1989年全国联赛题) 分析:考虑到已知条件a1.a2…an=1,因此如何从(2+ a1)(2+ a2)…(2+ an)过渡到能用已知条件就成关键.再注意到2+ a1,2+ a2等都与3比较接近,并且还有相等 [来自e网通客户端]

简介:平面向量的基本运算及应用 一、知识回顾 1.向量的运算: 加法:设 则 减法:设则 实数与向量的积: 向量与的关系; 设则 向量的数量积: 是与的夹角); 设 则 2.向量的关系: ①不等关系: (注意等号的条件) 对于n维向量, 同样有,化简即为柯西不等式:, . 对于任意n个向量,有 ②设 则 3.平面向量的基本定理:如果是同一平面内的不共线向量,那么对于这个平面内的任一向量,有且只有一对实数,使。 相关结论:如果是同一平面内的不共线向量,且,则 点O、A、B、C在同一平面内,A、B、C共线的充要条件是: 4.常用公式: 中,M为BC边的中点,G为重心, 则 5.线段的定比分点 1)点分有向线段所成的比 设,是直线上的两点,点是上不同于,的任意一点,则存在一个实数,使,叫做点分有向线段所成的 [来自e网通客户端]

简介:三角函数(三)——三角不等式与最值 一、知识回顾 本节公式中,,为内切圆半径,为外接圆半径,Δ为三角形面积. (一)三角形中的各种关系 设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C. 1.角与角关系:A+B+C = π, 2.边与边关系:a + b 》 c,b + c 》 a,c + a 》 b,a-b 《 c,b-c 《 a,c-a 》 b. 3.边与角关系: ⑴正弦定理 ⑵余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA. 它们的变形形式有:a = 2R sinA,,. ⑶射影定理: a=b·cosC+c·cosB,b=a·cosC+c·cosA,c=a·cosB+c·cosA. ⑷面积公式: 4.三角形内角定理的变形 由A+B+C=π,知A=π-(B+C)可得出: sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C). 而,有:,. (二)处理三角不等式的问题时,需运用的知识既有代数不等式的基本性质和公式,又有涉及三角函数的 [来自e网通客户端]

简介:三角函数(二)——性质及其应用 一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用. 二、反三角函数 1.反函数的概念 定义:一般地,设函数的值域是,根据这个函数中的关系,用把表示出,得到. 若对于在中的任何一个值,通过,在中都有唯一的值和它对应,那么就表示是自变量,是因变量的函数,这样的函数叫做函数的反函数,记作.反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域. 性质:(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线对称;   (2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;   (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;   (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数,定义域是且(其中是常数),则函数偶函数且有反函数,其反函数的定义域是,值域为).奇函数不一定存在反函数,被与轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数 [来自e网通客户端]

简介:第三课时 数列的递推 一、知识回顾 本节主要内容两个基本递推:an+1=an+d,an=qan;线性递推,二阶或高阶递推的特征方程与特征根;其他递推. 1.基本概念: ①递归式:一个数列中的第项与它前面若干项,,…,()的关系式称为递归式. ②递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列. 2.常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等. 3.思想策略:构造新数列的思想. 4.常见类型: 类型Ⅰ:(一阶递归) 其特例为:(1) (2) (3) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列. ①形如的递归式,其通项公式求法为: ②形如的递归式,其通项公式求法为: ③形如的递推式,两边同除以得,令则句可转化为①来处理. 类型Ⅱ:(二阶递归) 解题方法:利用特征方程,求其根、,构造,代入初始值求得. ①若p+q=1时,有可知是等比数列,先求得,再求出. ②若p+q≠l,则存在α,β满足整理得从而α+β=p, αβ=q,可解出α、β,这样可先求 [来自e网通客户端]

简介:三角函数(一)——三角恒等变换 一、常用的三角恒等式 1、; 2、; 3、; 4、; 5、 6、; 7、 8、 9、在△ABC中, (1); (2)(为奇数); (为偶数) (3)(为奇数) (为偶数); (为奇数); (为偶数) (4); (5); ; 众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。 二、例题选讲 例1.求的值. 例2.求cos420°+cos440°+cos480°的值. 例3.求证:①; ②sin1°sin2°sin3°…sin89°= 例4.证明:对任一自然数及任意实数为任一整数),有 . 例5.证明: 例6.若,,求的值. 例7.已知、为锐角,且,求、的值. 例8.设皆为锐角, [来自e网通客户端]

简介:数列的求和 一、知识回顾 本节主要内容有Sn与an的关系;两个常用方法:倒写与错项;各种求和:平方和、立方和、倒数和等;∑符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有:倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等. 1.重要公式 ①1+2+…+n=n(n+1) ②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) ③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2 2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式:an= 3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. 4.裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项: 5.错项相消法 6.并项求和法 二、基本训练 1、数列的各项为正数,其前n项和 满足,则=______. 2、(200 6天津)已知都是偶数,且,,若成等差数列,成等比数列,则的值等于 . 3、(20 [来自e网通客户端]

简介:映射与函数的最值 一、基础知识 1.映射的定义 设,是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作. 2.单射 若是一个映射且对任意,,都有,则称之为单射. 3.满射 若是一个映射且对任意,都有一个,使得,则称是到上的满射. 4.一一映射 一般地,设,是两个集合,是集合到集合的映射,如果在这个映射下,对于集合中的不同元素,在集合中有不同的象,而且中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做到上的一一映射.(即既是单射又是满射) 只有一一映射存在逆映射,即从到由相反的对应法则构成的映射,记作:. 5.函数 设,都是非空的数集,是从到的一个对应法则.那么,从到的映射就叫做从到的函数,记做,其中,,原象集合叫做函数的定义域,象的集合叫做函数的值域,显然. 6.反函数 若函数是一一映射,则它的逆映射叫原函数的反函数,通常记作. 二、基础训练 1、在19×93的方格纸上画 [来自e网通客户端]

简介:同余 (一)知识、技能、方法 一、同余的概念及性质 定义:设m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b用m除所得的余数相同,则称a,b对模m同余,记为ab(mod m);若所得的余数不相同,称a,b对模m不同余,记为ab(mod m).例如,15≡7(mod 4),-23≡12(mod 7). 当时,ab(mod m),则称b是a对模m的最小非负剩余. 同余有如下两种等价定义法:①若m|a-b,则称a、b对模m同余;②若a=b+mt(t∈Z),则称a、b对模m同余. 性质:(1); (2)(反身性) (对称性) (传递性) (3)若,,则 ① ; ② . (4)若,则. 特别地,设,若,则. (5)若,则.特别地,又若,则. 这个性质说明同余式两边的同一非零因数,不能像等式那样“约去”,只有当这非零因数与模互质时,才可“约去”. (6),而,则. (7)设,①若,则; ②d为a、b、m的任一公约数,则. (8)若,且,则. (9)若,则. (10)每一个整数a恰与0,1 [来自e网通客户端]

简介:直线与平面 一、知识要点 1、直线与平面的位置关系及转化 2、直线、平面之间的平行与垂直的证明方法 ①运用定义证明(有时要用反证法); ②运用平行关系证明; ③运用垂直关系证明; ④建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 二、例题分析 【题组1】 1.已知一直线和直线外不共线的三点,且其中只有两个点所连直线与已知直线在同一平面内,那么这条直线和直线外三点可确定平面的个数是___________ 2.设是所在平面外一点,点分别在线段上,且直线与相交于点,则下列说法正确的是____________ ①点一定在直线上; ②点一定在直线上; ③点可能在直线上,也可能在直线上; ④点既不在直线上,也不在直线上. 3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是____ 4.下列两个关于异面直线的命题,真命题的个数是_________ ①若平面上的直线与平面上的直线为异面直线,直线是与的交线, [来自e网通客户端]

简介:自然数与数学归纳法 一、新课讲授: “天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的,不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分,因此推理所得的结论不一定正确(顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发现三种并非全黑的乌鸦,在日本也发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦),但是它具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用,在数学上,我们很多时候是通过观察→归纳→猜想,这种思维过程去发现某些结论的。 比如:由等差数列前几项满足的规律:,,, ,……归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的,也可能不正确,又因为正整数有无限多个,不可能一一验证,那么该如何证明这类有关正整数的命题呢? 问题:相信同学们对放鞭炮都很熟悉,下面请思考:点燃一盘鞭炮后,满足什么条件,一盘鞭炮可以全部响? 答: 请类比鞭炮全响的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数学模型)。 数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题,总结用数学归纳法证题的步骤: 证明当取第一个值(例如或2等)时结论正确; 假设当(,且)时结论正确, [来自e网通客户端]

简介:整数的p进位制 (一)知识、技能、方法 给定一个位的正整数,其各位数字上的数字分别记为,则此数可以简记为,其中.由于我们所研究的整数通常都是十进制的,因此可以表示成10的次多项式,即, 其中,且. 为了具备一般性,我们给出正整数的进制表示: , 其中,且.而仍然为十进制数字,简记为. (二)例题分析 例1、将一个十进制数字2004转化成二进制与八进制,并将其表示成多项式形式. 例2、设一个五位数,其中,试问为何值时,这个五位数被11整除. 例3、设,试求的值. 例4、一个正整数,如果用7进制表示为,如果用5进制表示为,请用10进制 表示这个数. 例5、请确定最小的正整数,其末位数是6,若将未位的6移至首位,其余数字不变,其值变为原数的4倍. 例6、求满足所有的三位数. 例7、一个四位数,它的个位数字与百位数字相同,如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来,(即个位数字与千位数字互换,十位数字与百位数字互换),所得的新数减 [来自e网通客户端]

简介:整数的简单性质(一) (一)知识、技能、方法 一、整数的离散性 任何两个整数之间的距离至少为1,因此有不等式. 二、整数的奇偶性 将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可表示为2m(m∈Z)的形式,任一奇数可表示为2m+1或2m-1的形式. 奇、偶数具有如下性质: (1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数; (2)两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若为整数,它必为偶数. (3)奇数的平方都可表示为8m+1形式,偶数的平方都可表示为8m或8m+4的形式(m∈Z). (4)任何一个正整数n,都可以写成的形式,其中m为非负整数,l为奇数. 三、整数的整除性 1.定义:设a,b是整数,且b≠0,若存在整数c,使a=bc,则称b整除a或a能被b整除,记作|,并称b是a的一个约数(因子),称a是b的倍数.若不存在上述c,则称b不能整除a,记为| . 显然,1和-1能整除任意整数,任意整数都能整除0. 2.性质 [来自e网通客户端]