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精研考题 卓越备考 高三数学高考备考策略 一、研究高考真题,明确备考方向 关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知    教试中心函(2016)179号 一、修订基本原则 坚持整体稳定,推进改革创新。处理好继承与发展、稳定与创新的关系,在保证考试大纲总体框架不变的前提下,进一步巩固考试内容改革成果,确保高考内容改革的顺利推进。 优化考试内容,着力提高质量。把提升考试大纲的科学性和公平性作为修订工作的核心,依据高校人才选拔要求和国家课程标准,科学设计考试内容,增强基础性、综合性、应用性和创新性,适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要。 提前谋篇布局,体现素养导向。做好与新课程标准理念的衔接,在高考考核目标中适当体现核心素养的要求,梳理“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”的层次与关系。 二、主要修订内容   1.增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如,在语文中增加古代文化常识的内容,在汉语中增加 [来自e网通客户端]

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第32章勃罗卡定理 勃罗卡定理凸四边形内接于,延长、交于点.延长、交于点.与交于点.联结,则. 证法1如图,在射线上取一点,使得,,,四点共圆(即取完全四边形的密克尔点),从而、、、及、、、分别四点共圆. 分别注意到点、对的幂,的半径为,则. . 以上两式相减得, 即. 同理,. 又由上述两式,有. 于是,由定差幂线定理,知. 证法2如图,注意到完全四边形的性质.在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且,由此知为过点的的弦的中点,亦即知,,三点共线,从而. 同理,在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且,亦有. 于是,知为的垂心,故. 证法3如图.注意到完全四边形的性质,在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且.联结、、、、. 此时,由密克尔点的性质,知、、、四点共圆,、、、四点共圆, 即有, 从而 , 即知点在的外接圆上. 同理,知点也在的外接圆上,亦即知为与的公 [来自e网通客户端]

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第30章帕普斯定理 帕普斯定理设、、是一条直线上的三点,、、是另一条直线上的三点.若直线、、分别与、、相交,则这三个交点、、共线. 证明如图,延长和交于点,设与、分别交于点和.对及5条截线、、、、分别应用梅涅劳斯定理, 有 , , , . 将前三式的积除以后两式的积, 化简得. 由此即知、、共线. 下面看几道应用上述定理处理问题的例子. 例l给定及两点,,联结、交于,,、交于,,、交于,.设与交于,与交于,与交于. 求证:、、、、五点共线. 证明由于、、在直线上,、、在直线上,且、、分别是直线与、直线与、直线与的交点,由帕普斯定理知、、三点共线. 同理,、、三点线,、、三点共线. 故、、、、五点共线. 例2(2008年伊朗国家队选拔考试题)已知的内心为,是内切圆的一条切线,直线与、、分别交于、、.由作的不同于的 [来自e网通客户端]

第29章牛顿定理 牛顿定理圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合. 此定理即是说,若四边形外切于圆.边、、、上的切点分别为、、、,则四条直线、、、交于形内一点. 证法1如图,设与交于点,与交于点,下证与重合. 由切线的性质,知,则有 , 即. 同理,. 注意到,, 则. 再由合比定理,有. 于是与重合,即知、、三线共点. 同理,、、三线共点.故、、、四直线共点. 注:此证法由熊斌先生给出. 证法2如图,过作交直线于,过作交直线于,设与、分别交于点,,则由~,~,注意到,. 有, , 即. 从而与重合.同证法1,即知、、、四直线共点. 注:注:此证法由尚强先生给出. 证法3如图,过作的平行线,交于,则,从而. 同理,过作的平行线交直线于,有. 而,所以.① 设与交于点,与交于点, 则,.② 注意到,由①,②得,由合比定理有 [来自e网通客户端]

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第31章曼海姆定理 曼海姆定理一圆切的两边、及外接圆于点,,,则必通过的内心(还可证内心为的中点). 证法l如图,设已知圆与的外接圆的圆心分别为,,的中点为,则,,三点共线. 设直线交于点,注意到、、共线,记过点的直径的另一端点为,则由相交弦定理,有.① 由,,有.② 注意到,①②得.③ 作的直径,由,有. 由③、④,并注意,知. 又为弧的中点,于是,知为的内心,且在上. 证法2如图,设过点,,的圆交直线于点,交直线于点,则由 (为与的交点),知. 设直线交于点,则知为的中点(读者可自证或参见下面的证法4). 同理,知为的中点,从而的内心为与的交点. 又由,知. 由,知. 于是,知与位似,且为位似中心.故在直线上. 证法3同证法1所设,延长交于点,则平分及弧.设,分别为,,的半径.此时,点关于的幂为 , 且, 则. 设交于,则 于是,由三角形内心的 [来自e网通客户端]

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第18章 圆中的极点、极线 在平面解析几何中,介绍了如下直线方程的几何意义: 对于一已知点和一已知圆:,直线的方程 (*) 的几何意义有如下3种情形: 当点在圆上时,方程(*)表示为经过点的圆的切线,切点为. 当点在圆的外部时,方程(*)表示为过点的两条切线的切点弦直线.点在切点弦的中垂线上. 当点在圆的内部,且不为圆心时,方程(*)表示为过点的对应点(即以点为中点的弦端点的两条切线的交点),且与以为中点的弦平行的直线. 为了讨论问题的方便,对于上述三种情况,统称点与对应的直线为关于圆的极点与极线(可推广到圆锥曲线). 事实上,如图18-1,点、为一双对应点,且满足条件:. 注:满足条件(为圆心,为圆的半径)的点的变换,称为反演变换. 因此,一般地,有 定义1 设是平面上一个定圆(半径为),点、为满足条件的对应点(或反点),则过点且垂直于的直线称为点关于的极线,点称为直线关于的极点. 显然,对于平面上不过圆心的直线关于的极点是圆心在直线 [来自e网通客户端]

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第19章 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.反之亦真. 上述定理中的对应线段是指一条直线被三条平行直线截得的线段与另一条直线被这三条平行直线截得的线段对应,对应线段成比例是指同一直线上两条线段的比(部分与部分之比或部分与整体之比)等于另一条直线上与它们对应的线段的比. 定理中的两条直线可以是平行的,也可以是相交的.若是相交的,且交点在三条平行线中的一条上时,则有如下推论: 推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,反之亦真. 若称经过一点的若干直线为一直线束,则由推论1,有如下推论: 推论2 一直线束截两条平行线,所得的对应线段成比例. 此时,成比例的线段在乎行的直线上,与推论1中成比例的线段在非平行的直线上要区别清楚. 推论3 若一直线束中的直线、、上的点、、、、、满足,,则. 上述定理及推论在术解某些含有平行线条件(或隐含有平行线条件)的问题时是很方便的.下面从两方面列举一些例子以说明之. 1.充分利用题设条件中的平行线条件 例 [来自e网通客户端]

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第20章 定差幂线定理 定差幂线定理 若直线线段于,与为上两点,则 (*) 反之,若式(*)成立,则所在的直线. 证法1 (参见第5章例3) 证法2 如图20-1,以线段的中点为原点,中垂线为轴建立平面直角坐标系.并设,,,其中,则 (定值) (常数). 所以,点的轨迹是一条垂直于的直线. 证法3 因上线段,则由勾股定理得 , 两式相减得 ① 同理可得 ② 由①,②得 反过来,可设,则, 故 j 又 则 即 从而 得,又,则.故直线线段. 由定理,我们不难得到如下几个推论: 推论1 已知两点和,则满足(为常数)的点的轨迹,是垂直于的一条直线(其中若设交于,则). 推论1所述的轨迹称为定差幂线,是一个常见的轨迹,此处不再叙述其证明. 推论2 (施坦纳定理)由所在平面上的点,,分别向边,,引的垂线共点的充分必要条件是 证明 必要性:设自点,,分别向边, [来自e网通客户端]

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第21章 共边比例定理 共角比例定理 共边比例定理若两个共边的三角形,的对应顶点,所在直线与交于,则. 证法1由同底三角形的面积关系式,有,. 由上述两式相加即证得图21-1中(1)、(2),上述两式相减即证得图21-1中(3)、(4)情形. 证法2不妨设与不同,则 . 证法3在直线上取一点,使,则,. 所以,. 共角比例定理若与相等或互补,则有 (或) 证明把两个三角形拼在一起,让的两边所在直线与的两边所在直线重合,如图21-2所示,其中图(1)是两角相等的情形,图(2)是两角互补的情形,两情形下都有 共角比例定理的推广与相等或互补,点在直线上且不同于,点在直线上且不同于,则 证明不妨设,,,共线如图21-3,则 共角比例不等式如果,而且两角之和小于,则 (或). 证明记,. 如图21-4,作一个顶角为的等腰,延长至,使,则.由共角比例定理,有 共角比例逆定理在和中,若,则与相等或互补. [来自e网通客户端]

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第22章 角元形式的塞瓦定理 第一角元形式的塞瓦定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点,则三直线、、平行或共点的充要条件是 证明由, , 三式相乘,再运用塞瓦定理及其逆定理,知结论成立. 推论设、、分别是的外接圆三段弧、、上的点,则、、共点的充要条件是. 事实上,应用三角形正弦定理,代入角元形式的塞瓦定理即证. 第二角元形式的塞氏定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点,是不在的三边所在直线上的点,则、、平行或共点的充要条件是 . 事实上,注意到塞氏定理及其逆定理,有 .由此即证得结论. 下面给出应用第一角元形式的塞瓦定理解决问题的例子. 例l(1998年加拿大数学奥林匹克题)如图22-1,在中,,,和分别是和上的点,使得,,是直线和的交点.证明:直线和直线垂直. 证明如图22-1,设,则,对及点,应用甬元形式的塞瓦定理,有 . 从而, 即有 . 于是 . 注意到,知,,有 ,故. 延长交于, [来自e网通客户端]

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第23章 角元形式的梅涅劳斯定理 第一角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线(包括三边的延长线)上的点,则、、共线的充要条件是 证明如图23-1,由, 及, . 这三式相乘,运用梅涅劳斯定理及其逆定理,知结论成立. 第二角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点,点不在三边所在直线上,则、、三点共线的充要条件是 . 证明如图23-2.注意到 (其中), ,. 所以 . 而由梅涅劳斯定理及逆定理知、、共线. 故知结论成立. 注:在上述两定理中,若采用有向角(规定角的终边绕逆时针方向时角为正值,否则为负值)时,两条件式的右端均为,有向角记为. 下面给出运用如上定理处理问题的例子. 例1如图23-3,设的三边、、所在的直线 上的点、、共线,并且直线、、关于、、平分线的对称直线、、分别与、、所在直线交于、、,则、、也共线. 证明对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理,有 . [来自e网通客户端]

第24章 密克尔定理 定理1(三角形的密克尔定理)设在一个三角形每一边上取一点(可在一条边、或两条边、或三条边的延长线上取),过三角形的每一顶点与两条邻边所在线上所取的点作圆,则这三个圆共点. 证明在中,令,,. 如图24-1(1),、、分别在的三边,,上.设与的外接除交于点外,另一交点为,联结,,,则,.于是,,从而知,,,四点共圆. 故,,的外接圆共点于. 对于图24-1(2),、分别为的边,上的点,在边的延长线上.设与的外接圆除交于点外,另一交点为,联结,,,则,,于是,,从而知,,,四点共圆.故,,的外接圆共点于. 对于图24-1(3).、、分别为的三边,,延长线上的点.设与的外接圆除交于点外,另一交点为,联结,,,则,.于是,.从而知,,,四点共圆.故,,的外接圆共点于. 对于其他取点情形均可类似于上述情形而证. 特别地,若有一点取在三角形的顶点,则过两个重合的点之圆与这两点 [来自e网通客户端]

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第25章 九点圆定理 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆. 如图25-1,设三条高,,的垂足分别为、、,三边、、的中点分别为、、,又、、的中点分别为、、,则、、、、、、、、九点共圆. 证法1联结,,,,则,即知为平行四边形,又,知为矩形.从而、、、四点共圆,且圆心为与的交点.同理,为矩形,从而、、、、、六点共圆,且,,均为这个圆的直径. 由,知,,三点也在这个圆上,故、、、、、、、、九点共圆. 证法2如图25-1,由,以及注意到是与的公共弦,知,有,亦即,从而知. 因此,、、、四点共圆. 同理,、、、四点共圆.即知、、、、五点共圆. 同理,、、、、以及、、、、;、、、、;、、、、分别五点共圆. 故、、、、、、、、九点共圆. 证法3如图25-1.联结、、、、 [来自e网通客户端]

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第26章帕斯卡定理 帕斯卡()定理设内接于圆(与顶点次序无关,即无需为凸六边形),直线与交于点,直线与交于点,直线与交于点,则、、三点共线.① 证法l设直线与交于点,直线与交于点.直线与交于点. 对及截线、、分别应用梅涅劳斯定理, 有, , . 将上述三式相乘,并运用圆幂定理,有,. . 从而,其中、、分别在直线、、上. 对应用梅涅劳斯定理的逆定理,知、、三点共线. 证法2设过、、的圆交直线于点,交直线于点. 连接、,则与相补(或相等). 又与相等,从而与相补或相等,即知. 飘理,,. 于是,与为位似图形.由于位似三角形三对对应顶点的连线共点(共点于位似中点),这里,直线与交于点,则另一对对应的点、的连线也应过点,故,、三点共线. 证法3连、,过分别作上于,作于,作于,过分别作于,作于.则 . 同理,. 注意到,, ,. 所以, 即, 于是有. [来自e网通客户端]

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第27章戴维斯定理 戴维斯定理三角形的每边所在直线上有一对点(可以重合),若每两对点同在一圆上,则三对点(六点)都在同一圆上(题设中的圆与该线切于重合的点,则为重合的对点). 证明若所说三圆不重合,则根据根轴的性质(共点或平行),三角形的三条边就得共点或互相平行,但这明明不可能,所以三圆非合一不可. 下面给出如上定理的应用例子. 例l自直角三角形斜边上高线中点作三边的平行线,与三边相交得到的六个交点共圆. 证明如图,设为的斜边上的高线的中点,过点分别与,,平行的线交这三边于,,,,,. 联结,,由,,,四点共圆知,,则 . 这说明,,,四点共圆, 又注意到是的中点,,分别是,的中点,那么.于是,从而,,,四点共圆. 同理,,,,四点共圆. 故由戴维斯定理,知,,,,,六点共圆. 注:也可先证、、、四点共圆,再证、、、四点共圆()最后证、 、、四点共圆,而证得六点共圆. 例2(试题)已知是锐角的垂心,以边的中点为 [来自e网通客户端]

第28章戴沙格定理 戴沙格定理已知两个三角形的三双对应顶点的连线交于一点,若它们的三双对应边分别相交,则这三个交点在一条直线上.其逆命题亦成立. 证明先证原命题:设和的三双顶点的连线、、交于点,它们的三双对应边的交点分别是、、.分别对及截线、及截线、及截线应用梅涅劳斯定理 有, , . 将上述三式相乘, 得. 对逆用梅理劳斯定理,即知、、三点共线. 再证逆命题:设与的三双对应边的交点分别是、、,两双对应顶点的连线与交于点,要证第三双顶点对应连线也通过点,即、、三点在一条直线上. 事实上,与的三双对顶点连线、、交于点,利用已证得的原命题可以得到:这两个三角形三双对应边交点的连线中,与的交点、与的交点、与的交点是在同一条直线上.这就是所要证的. 在这里,若两双对应顶点的连线与平行,则可证得直线也与平行,否则若有直线与交于一点,则由上述逆命题中同样的理由,得直线也过点,与与平行矛盾. 于是,我们便有如下结论: 戴沙格定理的逆定理 [来自e网通客户端]

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. ① 上述两式相除得. ② 由题设有,则由②式有, 即有,亦即. ③ 对于③式,应用性质35,知,,,四点共圆.即知,,有公共弦. 此时,又由性质35,当,,有公共弦时, 有 , 亦即, 从而有 . ④ 设直线交于,对及截线应用梅涅劳斯定理,有. 由上式和①式两式相除,得 ⑤ 将④式代入⑤式,得.注意到已知条件,有. 从而与重合,故,,三点共线. 由推论9,即得如下结论: 推论10在凸(或折)四边形中,,分别在线段,上,点,,分别在线段,,或其延长线上,且满足,,则,,三点共线. 推论11 三个圆两两相交(或相切)有公共弦(或公切点),过点的割线段,依次交三个圆于、、,、、,则,,的三个重心共线,且三个垂心共线. 证明仅就图12-37的情形给出证明. 设的重心分别为、、,又、、分别为,,的中点,则注意到性质35,有. 而分别在线段上,且,则由推论10,知三点共线 压缩包中的资料: 山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章 圆与圆相交(2).doc 山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章 圆与圆相交(1).doc [来自e网通客户端]

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第13章 根轴 定义 从一点作一圆周的任一割线,从点起到和圆周相交为止的两线段之积,称为点对于这个圆周的幂. 由相交弦定理及割线定理,知点的幂是定值.若点在圆内,则点的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方;若点在圆外,则点的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方;若点在圆周上,则点的幂等于0. 由定义,关于圆周的幂有下列结论. 结论1 点对于以为圆心、以为半径的圆周的幂,等于及半径的关系式. 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹,是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线. 事实上,设点到圆和圆的幂相等,圆,圆的半径分别为,(),则,即 如图13-1,设的中点为,于点,则 易得 所以,过定点的垂线即是两圆等幂点的轨迹. 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴. 特别地,若两圆同心,则.从而,同心圆的根轴不存在;若,圆变成一点,则点对于圆的幂是.此时,直线(轨迹)称为一圆与一定点的根轴. 根轴有下面的性质. 性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线. 性质2 若两圆 [来自e网通客户端]

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第14章 完全四边形 我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.六个交点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.如图14-1,直线,,,两两相交于、、、、、六点,即为完全四边形.线段、、为其三条对角线.设与交于点,则称其为对角三角形. 完全四边形中,既有凸四边形,凹四边形,还有折四边形以及四个三角形.即凸四边形,凹四边形,折四边形,四个三角形是,,,.每个四边形的对边称为完全四边形的对节,一个完全四边形共有六对对节. 完全四边形有一系列有趣的性质. 性质1 完全四边形的三条对角线的中点共线,此线称为牛顿线. 此即完全四边形的三条对角线,,的中点,,共线. 证明 如图14-1,分别取,,的中点,,. 于是,在中,,,三点共线;在中,,,三点共线;在中,,,三点共线. 由平行线性质,有 . 对及截线应用梅涅劳斯定理,有,即有. 再对应用梅内劳斯定理的逆定理,知,,三点共线. [来自e网通客户端]

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第15章 调和点列 设两点、内分与外分同一线段成同一比例,即,则称点和调和分割线段,或称点是点关于线段的调和共轭点,亦称点列、,、为调和点列,若从直线一点引射线、、、,则称线束、、、为调和线束.调和点列联系了众多的图形,因而它有一系列有趣的性质.~③ 性质l 设、、、是共线四点,点是线段的中点,则、调和分割线段的充要条件是满足下述六个条件之一: (1)点、调和分割; (2); (3); (4); (5); (6). 证明(1)、调和分割; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 性质2 设、、、是共线四点,过共点直线外一点引射线、、、,则、调和分割线段的充要条件是满足下述两个条件之一: (1)线束、、、其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段; (2)另一直线分别交射线、、、于点、、、时,点、调和分割线段. 证明(1)如图15-2, [来自e网通客户端]

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